Determine as seguintes integrais
\int_{C}\left(x^{2} y\right) d s, C: x=\cos t, y=\operatorname{sen} t, z=t, 0 \leq t \leq \pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de função escalar f(x,y,z)=x^2y ao longo da curva
C:\;x=\cos t,\;y=\sin t,\;z=t,\quad 0\le t\le\frac\pi2
ou seja, calcular
\int_{C}x^2y\,ds.
Vamos usar a parametrização \mathbf r(t)=(\cos t,\sin t,t) e a fórmula
ds = \bigl\lVert \mathbf r\,'(t)\bigr\rVert dt.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização e seu módulo:
\mathbf r\,'(t)=(-\sin t,\cos t,1),
\bigl\lVert \mathbf r\,'(t)\bigr\rVert =\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1^2} =\sqrt{\sin^2t+\cos^2t+1}=\sqrt{2}.

Passo 3

Substituímos x=\cos t, y=\sin t e ds=\sqrt2\,dt na integral:
\int_{C}x^2y\,ds =\int_{0}^{\pi/2}(\cos^2t)(\sin t)\,\bigl(\sqrt2\,dt\bigr) =\sqrt2\int_{0}^{\pi/2}\cos^2t\sin t\,dt.

Passo 4

Fazemos a substituição u=\cos t, de modo que du=-\sin t\,dt. Quando t=0, u=1; quando t=\pi/2, u=0. Logo,
\int_{0}^{\pi/2}\cos^2t\sin t\,dt =\int_{1}^{0}u^2\bigl(-du\bigr) =\int_{0}^{1}u^2\,du =\left[\frac{u^3}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{3}.

Passo 5

Portanto a integral original vale
\sqrt2\cdot\frac{1}{3}=\frac{\sqrt2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt2}{3}

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