Considere as superfícies cujas equações são dadas nos itens a seguir. Identifique estas superfícies.
(a) varphi=pi4 (em coordenadas esféricas);
(b) theta=pi4 (em coordenadas cilíndricas).

Passo 1

O enunciado pede para identificar duas superfícies definidas em coordenadas especiais:
  1. varphi = tfracpi4 em coordenadas esféricas.
  2. theta = tfracpi4 em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, temos
rho = raizx^2 + y^2 + z^2, varphi = arccos!l(tfraczrhor), r = rhosinvarphi = raizx^2+y^2
A condição varphi=tfracpi4 implica
tanvarphi = rz = tanl(tfracpi4r)=1 Longrightarrow r = z,
ou seja
x^2 + y^2 = z^2
Isso descreve um cone de vértice na origem, com semi-ângulo de abertura tfracpi4 em relação ao eixo z.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, definimos
x = rcostheta, y = rsintheta
A condição theta=tfracpi4
tantheta = yx = tanl(tfracpi4r)=1 Longrightarrow y = x
Para todo r>=0 e zinR, isso é a superfície de um plano vertical que contém o eixo z e forma 45^circ com o eixo x.

Resposta

(a) Um cone de vértice na origem e semi-ângulo tfracpi4 em torno do eixo z, dado por x^2+y^2=z^2.
(b) Um plano vertical contendo o eixo z e fazendo 45^circ com o eixo x, dado por y=x.

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