Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares
, definida por
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores de uma transformação linear
, definida por
.
Conteúdo envolvido:
- Transformações Lineares: funções que respeitam a adição e a multiplicação por escalar.
- Autovalores e Autovetores: um autovalor
é um número tal que existe um vetor não nulo (autovetor) que satisfaz .
Vamos precisar usar matrizes para representar a transformação e resolver uma equação característica para encontrar os autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação
como uma matriz. Para isso, aplicamos
aos vetores da base canônica
e
:
Assim, a matriz de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores
lambda dessa matriz
A . Para isso, resolvemos a equação característica:
onde
I é a matriz identidade
1 & 0 0 & 1 .
Subtraindo
lambda na diagonal:
Calculando o determinante:
Igualando a zero:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
lambda^2 - lambda + 1 = 0 para encontrar os autovalores.
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde
a = 1 ,
b = -1 , e
c = 1 .
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo (
De<a = -3 ), os autovalores são números complexos:
Então, os autovalores são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada
lambda , resolvemos
(A - lambda I)v = 0 .
Vamos fazer para
lambda1 = 1 + iraiz32 :
Resolvendo o sistema, encontramos que um autovetor correspondente é:
De forma similar, para
lambda2 = 1 - iraiz32 , temos:
Resposta
Os autovalores da transformação
T são
lambda1 = 1 + iraiz32 e
lambda2 = 1 - iraiz32 . Os respectivos autovetores são
v1 = 1 1 + iraiz32 e
v2 = 1 1 - iraiz32 .