Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares
T: R^2 R^2, definida por T(x, y)=(x-y, x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores de uma transformação linear T: R^2 R^2 , definida por T(x, y) = (x - y, x) .
Conteúdo envolvido:
  • Transformações Lineares: funções que respeitam a adição e a multiplicação por escalar.
  • Autovalores e Autovetores: um autovalor lambda é um número tal que existe um vetor não nulo v (autovetor) que satisfaz T(v) = lambda v .
Vamos precisar usar matrizes para representar a transformação e resolver uma equação característica para encontrar os autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação T como uma matriz. Para isso, aplicamos T aos vetores da base canônica e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) :
  • T(1, 0) = (1 - 0, 1) = (1, 1)
  • T(0, 1) = (0 - 1, 0) = (-1, 0)
Assim, a matriz de T é:
A = 1 & -1 1 & 0

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores lambda dessa matriz A . Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade 1 & 0 0 & 1 .
Subtraindo lambda na diagonal:
A - lambda I = 1 - lambda & -1 1 & -lambda
Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-lambda) - (-1)(1) = -lambda + lambda^2 + 1 = lambda^2 - lambda + 1
Igualando a zero:
lambda^2 - lambda + 1 = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática lambda^2 - lambda + 1 = 0 para encontrar os autovalores.
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
onde a = 1 , b = -1 , e c = 1 .
Calculando o discriminante:
De<a = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3
Como o discriminante é negativo ( De<a = -3 ), os autovalores são números complexos:
lambda = 1 pm iraiz32
Então, os autovalores são:
lambda1 = 1 + iraiz32 e lambda2 = 1 - iraiz32

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada lambda , resolvemos (A - lambda I)v = 0 .
Vamos fazer para lambda1 = 1 + iraiz32 :
A - lambda1 I = 1 - lambda1 & -1 1 & -lambda1 = 1 - (1 + iraiz3)2 & -1 1 & -1 + iraiz32 = -iraiz32 & -1 1 & -1 + iraiz32
Resolvendo o sistema, encontramos que um autovetor correspondente é:
v1 = 1 1 + iraiz32
De forma similar, para lambda2 = 1 - iraiz32 , temos:
v2 = 1 1 - iraiz32

Resposta

Os autovalores da transformação T são lambda1 = 1 + iraiz32 e lambda2 = 1 - iraiz32 . Os respectivos autovetores são v1 = 1 1 + iraiz32 e v2 = 1 1 - iraiz32 .

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