Esboce as curvas de níveis em relação aos planos
das superfícies:
(a)
(em coordenadas cartesianas);
(b)
(em coordenadas cartesianas).
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para descrever (esboçar) as curvas de nível das duas superfícies cartesianas abaixo nos planos horizontais
, com
.
Conteúdo usado: curvas de nível e interseção de superfícies com planos. Para cada valor inteiro substituímos
na equação da superfície e obtemos uma curva no plano
.
Conteúdo usado: curvas de nível e interseção de superfícies com planos. Para cada valor inteiro
Passo 2
Para a superfície (a)
impondo
obtemos
Isto significa que, para cada inteiro
, a curva de nível é uma parábola no plano
com equação canônica de concavidade para baixo e vértice em
.
Passo 3
Interpretação e esboço de (a):
– Para a parábola é
, vértice em
.
– Para a parábola é
, vértice em
.
– Para a parábola é
, vértice em
.
E assim por diante (para ,
permanece positivo). Todas têm o mesmo “formato” e apenas sobem o vértice conforme
.
– Para
– Para
– Para
E assim por diante (para
Passo 4
Para a superfície (b)
temos
. Impondo
dá
Reescrevendo em forma padrão:
Passo 5
Interpretação e esboço de (b):
– Para cada curva de nível é uma elipse centrada em
com semi-eixos
em
e
em
.
– Para a equação vira
, ou seja, o ponto
.
– Para não há soluções reais (curva vazia).
– Para
– Para
– Para
Resposta
(a) As curvas de nível são parábolas
de concavidade para baixo e vértice em
para cada
.
(b) As curvas de nível são elipses
para
, degenerando em ponto
para
e inexistentes para
.