Esboce as curvas de níveis em relação aos planos z=k, k in Z das superfícies:
(a) y=z^2-x^2 (em coordenadas cartesianas);
(b) x^2+y^24-z=0 (em coordenadas cartesianas).

Passo 1

O enunciado pede para descrever (esboçar) as curvas de nível das duas superfícies cartesianas abaixo nos planos horizontais z=k, com kinZ.
Conteúdo usado: curvas de nível e interseção de superfícies com planos. Para cada valor inteiro k substituímos z=k na equação da superfície e obtemos uma curva no plano xy.

Passo 2

Para a superfície (a)
y = z^2 - x^2
impondo z=k obtemos
y = k^2 - x^2
Isto significa que, para cada inteiro k, a curva de nível é uma parábola no plano xy com equação canônica de concavidade para baixo e vértice em l(0,k^2r).

Passo 3

Interpretação e esboço de (a):
– Para k=0 a parábola é y=-x^2, vértice em (0,0).
– Para k=1 a parábola é y=1 - x^2, vértice em (0,1).
– Para k=2 a parábola é y=4 - x^2, vértice em (0,4).
E assim por diante (para k<0, k^2 permanece positivo). Todas têm o mesmo “formato” e apenas sobem o vértice conforme k^2.

Passo 4

Para a superfície (b)
x^2 + y^24 - z = 0
temos z = x^2 + tfracy^24. Impondo z=k
x^2 + y^24 = k
Reescrevendo em forma padrão:
x^2k + y^24k = 1

Passo 5

Interpretação e esboço de (b):
– Para k>0 cada curva de nível é uma elipse centrada em (0,0) com semi-eixos raizk em x e 2raizk em y.
– Para k=0 a equação vira x^2 + tfracy^24=0, ou seja, o ponto (0,0).
– Para k<0 não há soluções reais (curva vazia).

Resposta

(a) As curvas de nível são parábolas
y = k^2 - x^2,
de concavidade para baixo e vértice em (0,k^2) para cada kinZ.
(b) As curvas de nível são elipses
x^2k + y^24k = 1
para k>0, degenerando em ponto (0,0) para k=0 e inexistentes para k<0.

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