Considere as superficies S_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, z=7-x^{2}-u^{2}\right\} \mathrm{e} S_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; z=x^{2}-1\right\}
Parametrize a curva C dada pela interseçio de S_{1} e S_{2}
(1.5 \mathrm{pt})

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da curva C que é a interseção de
S_{1}:\;z=7 - x^{2} - y^{2}
e
S_{2}:\;z = x^{2} - 1.
O conteúdo principal é reconhecer que igualando as duas expressões de z obtemos uma curva plana (no plano xy) que é uma elipse, e em seguida usar parametrização trigonométrica dessa elipse e recuperar z.

Passo 2

Igualando z em S_{1} e S_{2} temos
7 - x^{2} - y^{2} \;=\; x^{2} - 1.
Reorganizando,
7 + 1 \;=\; x^{2} + x^{2} + y^{2} \qquad\Longrightarrow\qquad 2x^{2} + y^{2} = 8.

Passo 3

Escrevemos essa curva em forma canônica de elipse:
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{8} = 1,
pois 2x^{2}+y^{2}=8 equivale a x^{2}/4 + y^{2}/8 =1.

Passo 4

Usamos a parametrização trigonométrica de elipse no plano xy:
x = 2\cos t, \qquad y = 2\sqrt{2}\,\sin t,
com t\in[0,2\pi].

Passo 5

Para cada (x,y) dessa elipse, z vale pela fórmula de S_{2} (ou de S_{1}, dá o mesmo):
z = x^{2} - 1 = (2\cos t)^{2} - 1 = 4\cos^{2}t - 1.

Resposta

Uma parametrização conveniente de C é
\mathbf{r}(t) = \bigl(2\cos t,\;2\sqrt{2}\,\sin t,\;4\cos^{2}t - 1\bigr), \quad t\in[0,2\pi].

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