( 2.0 pt ) Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares
\iint_{D} 5 d A
onde D é a regiaio do primeiro quadrante entre as curvas y=x e x^{2}+y^{2}=2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D}5\,dA
sendo D a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas y=x e x^2+y^2=2x.
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas polares, então vamos reescrever D e o integrando em polares.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
y=x\;\Longrightarrow\;\theta=\frac{\pi}{4},
x^2+y^2=2x\;\Longrightarrow\;r^2=2r\cos\theta\;\Longrightarrow\;r=2\cos\theta\quad(\cos\theta\ge0).
Como estamos no primeiro quadrante e a região fica “entre” a reta \theta=\pi/4 e o círculo r=2\cos\theta, obtemos
\frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{\pi}{2},\quad 0\le r\le2\cos\theta.

Passo 3

A integral em polares fica
\iint_{D}5\,dA =5\int_{\theta=\pi/4}^{\pi/2}\!\int_{r=0}^{2\cos\theta}r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{2\cos\theta}r\,dr =\frac{1}{2}r^2\Big|_{0}^{2\cos\theta} =\frac{1}{2}\bigl(2\cos\theta\bigr)^2 =2\cos^2\theta.
Multiplicando pelo fator 5
5\int_{0}^{2\cos\theta}r\,dr =10\cos^2\theta.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
10\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta =10\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{1+\cos2\theta}{2}\,d\theta =5\Bigl[\theta+\tfrac12\sin2\theta\Bigr]_{\pi/4}^{\pi/2}.
No limite superior \theta=\pi/2 temos \pi/2+0. No inferior \theta=\pi/4 temos \pi/4+\tfrac12.
Logo a diferença é
5\Bigl(\frac{\pi}{2}-\bigl(\frac{\pi}{4}+\tfrac12\bigr)\Bigr) =5\Bigl(\frac{\pi}{4}-\frac12\Bigr) =\frac{5\pi}{4}-\frac{5}{2} =\frac{5}{4}(\pi-2).

Resposta

\frac{5}{4}(\pi-2).

Exercícios relacionados