(3.0 pontos) Resolva o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}=x_{1}+x_{2} \\\ x_{2}^{\prime}=4 x_{1}-2 x_{2} \\\ x_{1}(0)=3 \\\ x_{2}(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem com coeficientes constantes
\begin{cases} x_{1}' = x_{1} + x_{2},\\\ x_{2}' = 4x_{1} - 2x_{2},\\\ x_{1}(0)=3,\quad x_{2}(0)=1, \end{cases}
logo o conteúdo é resolução de sistemas \mathbf{x}' = A\mathbf{x} por diagonalização da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]4 & -2-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(-2-\lambda) - 4 = \lambda^2 + \lambda - 6.
As raízes são
\lambda^2 + \lambda - 6 = (\lambda-2)(\lambda+3),
portanto os autovalores são
\lambda_{1} = 2,\quad \lambda_{2} = -3.]

Passo 3

Para \lambda_{1}=2, resolvemos (A-2I)v=0:
\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]4 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\\[2pt]v_{2}\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; v_{2}=v_{1}.
Um autovetor associado é \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=-3, resolvemos (A+3I)v=0:
\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\\[2pt]v_{2}\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; v_{2}=-4v_{1}.
Um autovetor associado é \begin{pmatrix}1\\\ -4\end{pmatrix}.]

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções elementares:
\mathbf{x}(t) = c_{1}\,e^{2t} \begin{pmatrix}1\\[3pt]1\end{pmatrix} + c_{2}\,e^{-3t} \begin{pmatrix}1\\[3pt]-4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Impondo \mathbf{x}(0) = \begin{pmatrix}3\\[2pt]1\end{pmatrix} obtemos
\begin{pmatrix}3\\[2pt]1\end{pmatrix} = c_{1}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix} + c_{2}\begin{pmatrix}1\\[2pt]-4\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} c_{1} + c_{2} = 3,\\\ c_{1} -4c_{2} = 1. \end{cases}
Resolvendo:
c_{2} = \tfrac{2}{5},\quad c_{1} = \tfrac{13}{5}.]

Resposta

x_{1}(t) = \frac{13}{5}\,e^{2t} + \frac{2}{5}\,e^{-3t}, \qquad x_{2}(t) = \frac{13}{5}\,e^{2t} - \frac{8}{5}\,e^{-3t}.

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