Esboce e identifique a superficie quádrica dada pela equaçio
x^{2}-4 x+4 y^{2}+z^{2}-2 z+1=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e identificar a superfície quádricas dada por
x^{2}-4x+4y^{2}+z^{2}-2z+1=0.
Estamos no tema de superfícies quádricas e vamos usar o método de completar quadrados para levar essa equação à forma canônica.

Passo 2

Agrupamos termos em x e z e completamos quadrados:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4,
z^{2}-2z = (z-1)^{2}-1.
Substituindo na equação original:
(x-2)^{2}-4 \;+\;4y^{2}\;+\;(z-1)^{2}-1\;+\;1 = 0
que simplifica para
(x-2)^{2} + 4y^{2} + (z-1)^{2} -4 = 0.

Passo 3

Isolamos o lado com quadrados e dividimos por 4 para obter a forma canônica:
(x-2)^{2} + 4y^{2} + (z-1)^{2} = 4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-2)^{2}}{4} + \frac{4y^{2}}{4} + \frac{(z-1)^{2}}{4} = 1
ou seja
\frac{(x-2)^{2}}{4} + y^{2} + \frac{(z-1)^{2}}{4} = 1.

Passo 4

Da forma
\frac{(x-2)^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{1^{2}} + \frac{(z-1)^{2}}{2^{2}} = 1
vemos que é um elipsoide centrado em (2,0,1), com semieixos de comprimentos 2 (nas direções x e z) e 1 (na direção y).

Passo 5

Para esboçar, basta marcar:
  • Centro em (2,0,1).
  • Interseções com os eixos coordenados:
    (x-2)^{2}/4=1,\;y=0,\;z=1 x=2\pm2.
    (z-1)^{2}/4=1,\;x=2,\;y=0 z=1\pm2.
    y^{2}=1,\;x=2,\;z=1 y=\pm1.
    O contorno é uma “bola achatada” (elipsoide) centrada em (2,0,1).

Resposta

A superfície é um elipsoide cuja forma canônica é
\frac{(x-2)^{2}}{4} + y^{2} + \frac{(z-1)^{2}}{4} = 1,
com centro em (2,0,1) e semieixos de comprimentos 2, 1 e 2.

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