Considere T: \Lambda I_{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^{2} definida para qualquer \left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) por
T\left(\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right)=(a+2 b, c-d)
(a) (1,0 ponto) Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
T\colon M_{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^{2}
por
T\Bigl(\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\Bigr) = (\,a + 2b,\;c - d\,).
Queremos mostrar que T é linear, ou seja, que para quaisquer matrizes M,N\in M_{2}(\mathbb{R}) e escalar \lambda\in\mathbb{R} valem
T(M+N) \;=\; T(M) + T(N) \quad\text{e}\quad T(\lambda M) \;=\; \lambda\,T(M).

Passo 2

Sejam
M = \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix}e & f\\\ g & h\end{pmatrix}.
Então
M + N = \begin{pmatrix}a+e & b+f\\\ c+g & d+h\end{pmatrix},
e aplicando T temos
T(M+N) = \bigl((a+e) + 2(b+f),\;(c+g) - (d+h)\bigr).
Agrupando termos,
(a+e) + 2(b+f) = (a+2b) + (e+2f), \quad (c+g)-(d+h) = (c-d)+(g-h),
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T(M+N) = (a+2b,\,c-d) + (e+2f,\,g-h) = T(M) + T(N).

Passo 3

Para homogeneidade, seja \lambda\in\mathbb{R}. Então
\lambda M = \begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\\ \lambda c & \lambda d\end{pmatrix},
e
T(\lambda M) = \bigl(\lambda a + 2\,\lambda b,\;\lambda c - \lambda d\bigr) = \bigl(\lambda(a+2b),\;\lambda(c-d)\bigr) = \lambda\,(a+2b,\,c-d) = \lambda\,T(M).

Resposta

Como mostramos que T(M+N)=T(M)+T(N) e T(\lambda M)=\lambda\,T(M), concluímos que T é uma transformação linear.

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