4. Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \mathrm{um} operador linear dado para qualquer (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} por T(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, 2 y+3 z)
Determine:
(a) ( 1,5 pontos) os antovalores de T;
(b) (1,5 pontos ) os autovetores de T.
Observação: Caso você resolva este exercício usando a teoria de autovalores e autovetores de uma matriz você deve apresentar o seu raciocínio de forma completa, por exemplo, deve apresentar os cálculos de como obter a matriz associada ao operador e de como através dos autovetores desta matriz obter os autovetores do operador em questão.
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear
O conteúdo principal é teoria de autovalores e autovetores de matriz. Para resolver, vamos: (i) obter a matriz associada a T na base canônica; (ii) calcular o polinômio característico e extrair os autovalores; (iii) para cada autovalor, resolver (A-\lambda I)v=0 para achar os autovetores.