4. Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \mathrm{um} operador linear dado para qualquer (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} por
T(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, 2 y+3 z)

Determine:
(a) ( 1,5 pontos) os antovalores de T;
(b) (1,5 pontos ) os autovetores de T.
Observação: Caso você resolva este exercício usando a teoria de autovalores e autovetores de uma matriz você deve apresentar o seu raciocínio de forma completa, por exemplo, deve apresentar os cálculos de como obter a matriz associada ao operador e de como através dos autovetores desta matriz obter os autovetores do operador em questão.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear
T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\quad T(x,y,z)=(x+y+z,\;2y+z,\;2y+3z).
O conteúdo principal é teoria de autovalores e autovetores de matriz. Para resolver, vamos: (i) obter a matriz associada a T na base canônica; (ii) calcular o polinômio característico e extrair os autovalores; (iii) para cada autovalor, resolver (A-\lambda I)v=0 para achar os autovetores.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix},
pois
T(e_1)=(1,0,0),\quad T(e_2)=(1,2,2),\quad T(e_3)=(1,1,3).

Passo 3

Para encontrar os autovalores, montamos o determinante \det(A-\lambda I):
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 1\\\\ 0 & 2-\lambda & 1\\\\ 0 & 2 & 3-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}2-\lambda&1\\\ 2&3-\lambda\end{pmatrix}.
Calculamos
\det\begin{pmatrix}2-\lambda&1\\\ 2&3-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(3-\lambda)-2\cdot1 =\lambda^2-5\lambda+4.
Logo
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^2-5\lambda+4).

Passo 4

Fatorando \lambda^2-5\lambda+4=(\lambda-1)(\lambda-4), obtemos
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-4) =-(\lambda-1)^2(\lambda-4).
Portanto, os autovalores são
\lambda_1=1\quad(\text{multiplicidade }2), \quad \lambda_2=4\quad(\text{multiplicidade }1).

Passo 5

Para \lambda=1, resolvemos (A-I)v=0, isto é,
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Dessa matriz vêm as equações y+z=0. Logo y=-z e x livre. Assim o espaço próprio é
\{(x,-z,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\} =\text{span}\bigl\{(1,0,0),\;(0,-1,1)\bigr\}.

Passo 6

Para \lambda=4, resolvemos (A-4I)v=0, ou seja,
\begin{pmatrix} -3 & 1 & 1\\\\ 0 & -2 & 1\\\\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Da segunda linha temos -2y+z=0\implies z=2y. Substituindo na primeira: -3x+y+2y=0\implies x=y. Tomando y=1 obtemos o autovetor
(1,1,2).

Resposta

(a) Os autovalores de T são
\lambda=1\quad(\text{multiplicidade }2), \qquad \lambda=4\quad(\text{multiplicidade }1).
(b) Os autovetores correspondentes são
\lambda=1:\;\text{span}\{(1,0,0),\,(0,-1,1)\}, \qquad \lambda=4:\;\text{span}\{(1,1,2)\}.

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