Sejam f: V \rightarrow W uma funçāo linear, \mathcal{A}=\left\{\underline{v}_{1}, \ldots, \underline{v}_{n}\right\} uma base de V e \mathcal{B}= \left\{\underline{w}_{1}, \ldots, \underline{w}_{m}\right\} uma base de W. Estabeleça se as seguintes afirmaçōes são verdadeiras ou falsas:
(1) A função f é sobrejetora se, e somente se, \underline{w}_{i} \in \operatorname{Im}(f) para todo i.
(2) A função f é injetora se, e somente se, f\left(\underline{v}_{i}\right) \neq 0 para todo i.
(3) Se n=m e f\left(\underline{v}_{i}\right)=\underline{w}_{i} para todo i, então f é bijetora.
(4) Se g: W \rightarrow V for uma função linear, então as duas composições g \circ f: V \rightarrow V e f \circ g: W \rightarrow W são lineares.
(5) Se n \geq m, então f é sobrejetora.
(6) Se g: V \rightarrow W for uma função linear tal que f\left(\underline{v}_{i}\right)=g\left(\underline{v}_{i}\right) para todo i, então g=f.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada uma das seis afirmações sobre uma aplicação linear f\colon V\to W (com \dim V=n, base \mathcal A=\{\underline v_1,\dots,\underline v_n\} e \dim W=m, base \mathcal B=\{\underline w_1,\dots,\underline w_m\}) é verdadeira ou falsa. Vamos usar os conceitos de imagem, núcleo, teorema do posto e nulidade, independência linear de imagens de uma base, caracterização de aplicações injetoras e sobrejetoras e unicidade de extensão linear a partir de uma base.

Passo 2

Analisando a afirmação (1): “ f é sobrejetora se, e somente se, \underline w_i\in\operatorname{Im}(f) para todo i.”
– Por definição, f é sobrejetora \iff \operatorname{Im}(f)=W. Como \mathcal B é base de W, ter cada \underline w_i\in\operatorname{Im}(f) implica que a imagem de f contém todos os geradores de W, logo \operatorname{Im}(f)=W. Recíproco óbvio.
Portanto, (1) é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação (2): “ f é injetora se, e somente se, f(\underline v_i)\neq 0 para todo i.”
– Injetividade equivale a \ker(f)=\{0\}, ou seja, as imagens das n vetores da base devem ser independentes. O fato de cada f(\underline v_i) ser não nulo garante apenas que nenhum vetor cai no zero, mas não impede que dois f(\underline v_i) e f(\underline v_j) sejam colineares (dependentes), o que violaria a injetividade.
Contraexemplo simples: V=\mathbb R^2, W=\mathbb R^2, defina
f(x,y) = (x,\;0).
Então f(e_1)\neq0 e f(e_2)\neq0, mas f(e_2)=0\cdot f(e_1), logo não é injetora.
Portanto, (2) é falsa.
Analisando a afirmação (5): “Se n\ge m, então f é sobrejetora.”
– A condição n\ge m é apenas comparação de dimensão de domínio e contradomínio; não garante posto máximo m. Pode-se escolher f\equiv0 ou qualquer aplicação de posto menor que m.
Portanto, (5) é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação (3): “Se n=m e f(\underline v_i)=\underline w_i para todo i, então f é bijetora.”
– Quando \dim V=\dim W e as imagens de uma base formam exatamente uma base do contradomínio, a aplicação tem posto m (logo é sobrejetora) e núcleo trivial (logo é injetora). Assim f é bijetora.
Portanto, (3) é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmação (4): “Se g\colon W\to V for linear, então g\circ f e f\circ g são lineares.”
– A composição de duas aplicações lineares é sempre linear, pois
(g\circ f)(u+v)=g\bigl(f(u)+f(v)\bigr)=g(f(u))+g(f(v)),\quad (g\circ f)(\lambda u)=\lambda\,g(f(u)),
e argumento análogo vale para f\circ g.
Portanto, (4) é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmação (6): “Se g\colon V\to W for linear e f(\underline v_i)=g(\underline v_i) para todo i, então g=f.”
– Uma aplicação linear é determinada unicamente pelos valores em uma base: se duas aplicações lineares coincidem em todos os vetores de uma base, então coincidem em qualquer combinação linear deles, ou seja, em todo V.
Portanto, (6) é verdadeira.

Resposta

(1) Verdadeira
(2) Falsa
(3) Verdadeira
(4) Verdadeira
(5) Falsa
(6) Verdadeira

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