Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{19}\right) \in \mathbb{R}^{19} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{16} & =x_{7} \\\ x_{3} & =x_{9} \\\ x_{16}-x_{3} & =x_{7}-x_{9} \end{aligned}\right.
A dimensão de S é:
(A) 2
(B) 17
(C) 19
(D) 16
(E) 15
(F) 4
(G) 3
(H) 18

Passo 1

O enunciado nos dá um subespaço S\subset\mathbb{R}^{19}\) definido por essas três equações lineares homogêneas: \[\begin{cases} x_{16}=x_{7},\\\ x_{3}=x_{9},\\\ x_{16}-x_{3}=x_{7}-x_{9}. \end{cases}
O que queremos é a dimensão de S\]. Para isso, vamos ver quantas restrições independentes essas equações impõem e usar o fato de que, para um sistema homogêneo de \(n variáveis com posto r, a dimensão do espaço solução é n-r.

Passo 2

Escrevendo-as como combinações lineares:
\text{(1)}\;x_{16}-x_{7}=0, \quad \text{(2)}\;x_{3}-x_{9}=0, \quad \text{(3)}\;x_{16}-x_{3}-x_{7}+x_{9}=0.
Se da (1) temos x_{16}=x_{7} e da (2) temos x_{3}=x_{9}, então a (3) vira
x_{16}-x_{3}=x_{7}-x_{9} \;\Longrightarrow\; x_{7}-x_{3}=x_{7}-x_{3},
ou seja, a terceira equação fica satisfeita automaticamente. Logo só existem duas equações independentes.

Passo 3

Como o sistema tem 19 variáveis e posto r=2, a dimensão de S é
\dim(S)=19-r=19-2=17.

Resposta

(B) 17

Exercícios relacionados