Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
II - O conjunto \{(0,0,0,0)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial. III - O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{7} tais que todas entradas de A \vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 9 \times 7 é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas I e II são verdadeiras.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.

Passo 1

O enunciado pergunta quais das afirmativas sobre subespaços vetoriais são verdadeiras: I diz que a solução de um sistema linear não‐homogêneo é subespaço; II diz que \{(0,0,0,0)\}\subset\mathbb{R}^4 é subespaço; III diz que o conjunto \{\vec v\in\mathbb{R}^7\mid A\vec v\text{ tem todas entradas positivas}\} é subespaço. Vamos usar a definição de subespaço vetorial (fechado em soma e multiplicação escalar e contém o vetor zero) para analisar cada caso.

Passo 2

Analisando I: a solução de um sistema linear não‐homogêneo tem forma geral \vec v=\vec v_p+\vec v_h, onde \vec v_p é uma solução particular e \vec v_h é solução do sistema homogêneo. Esse conjunto é um subespaço afim, mas não contém o zero (a menos de um caso especial) nem é fechado em soma de soluções particulares. Portanto não satisfaz as condições de subespaço vetorial.

Passo 3

Analisando II: o conjunto \{(0,0,0,0)\} contém o vetor zero, e para quaisquer escalares \alpha,\beta e vetores u,v nesse conjunto temos \alpha u+\beta v=(0,0,0,0). Logo é fechado em soma e multiplicação escalar e é de fato um subespaço vetorial trivial de \mathbb{R}^4.

Passo 4

Analisando III: o conjunto de \vec v\in\mathbb{R}^7 tais que todas as entradas de A\vec v são positivas não contém o vetor zero (pois A\cdot0=0 não é estritamente positivo) e não é fechado sob multiplicação por escalar negativo nem mesmo sob soma (a soma de duas imagens positivas pode ter entradas não positivas). Logo não é subespaço vetorial.

Resposta

(E) Apenas II é verdadeira.

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