Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
II - O conjunto
é um subespaço vetorial. III - O conjunto de todos
tais que todas entradas de
são positivas, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas I e II são verdadeiras.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
I - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
II - O conjunto
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas I e II são verdadeiras.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
Passo 1
O enunciado pergunta quais das afirmativas sobre subespaços vetoriais são verdadeiras: I diz que a solução de um sistema linear não‐homogêneo é subespaço; II diz que
é subespaço; III diz que o conjunto
é subespaço. Vamos usar a definição de subespaço vetorial (fechado em soma e multiplicação escalar e contém o vetor zero) para analisar cada caso.
Passo 2
Analisando I: a solução de um sistema linear não‐homogêneo tem forma geral
, onde
é uma solução particular e
é solução do sistema homogêneo. Esse conjunto é um subespaço afim, mas não contém o zero (a menos de um caso especial) nem é fechado em soma de soluções particulares. Portanto não satisfaz as condições de subespaço vetorial.
Passo 3
Analisando II: o conjunto
contém o vetor zero, e para quaisquer escalares
e vetores
nesse conjunto temos
. Logo é fechado em soma e multiplicação escalar e é de fato um subespaço vetorial trivial de
.
Passo 4
Analisando III: o conjunto de
tais que todas as entradas de
são positivas não contém o vetor zero (pois
não é estritamente positivo) e não é fechado sob multiplicação por escalar negativo nem mesmo sob soma (a soma de duas imagens positivas pode ter entradas não positivas). Logo não é subespaço vetorial.
Resposta
(E) Apenas II é verdadeira.