Considere T: P_{2} \rightarrow P_{2} dada por T(p(x))=p(x)-p^{\prime}(x).
a) Mostre que T é uma transformação linear.
b) Obtenha o núcleo de T.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear (?) T: P_{2}\to P_{2} definida por
T(p(x))=p(x)-p'(x).
Dados e pedidos:
  • Domínio e contradomínio: o espaço P_{2} das polinômios de grau menor ou igual a 2.
  • A tarefa (a): mostrar que T é transformação linear.
  • A tarefa (b): determinar o núcleo de T, isto é, todos os p\in P_{2} tais que T(p)=0.

Passo 2

O que significa ser linear? Uma aplicação T é linear se, para quaisquer p,q\in P_{2} e qualquer escalar \lambda, valem as duas propriedades:
T(p+q)=T(p)+T(q) \qquad\text{e}\qquad T(\lambda p)=\lambda T(p).
Estratégia: vou usar que a derivada é uma aplicação linear (ou seja, (p+q)'=p'+q' e (\lambda p)'=\lambda p'). A partir disso mostro as duas propriedades acima aplicando a definição T(p)=p-p'.

Passo 3

Mostro a linearidade diretamente usando as propriedades da derivada.
Sejam p,q\in P_{2}. Então
T(p+q)=(p+q)-(p+q)'=p+q-(p'+q')=(p-p')+(q-q')=T(p)+T(q).
Seja \lambda um escalar e p\in P_{2}. Então
T(\lambda p)=\lambda p-(\lambda p)'=\lambda p-\lambda p'=\lambda(p-p')=\lambda T(p).
Portanto T satisfaz aditividade e homogeneidade, logo T é linear. (Fim da parte (a).)

Passo 4

Agora vamos encontrar o núcleo. Lembrete: o núcleo é
\ker(T)=\{\,p\in P_{2}\mid T(p)=0\,\},
onde 0 é o polinômio nulo (todos os coeficientes zero). Para resolver T(p)=0 é prático escrever um polinômio genérico em P_{2}.
Escreva um polinômio genérico
p(x)=ax^{2}+bx+c,
com a,b,c escalares reais (ou no corpo considerado).

Passo 5

Calcule a derivada e T(p). Temos
p'(x)=2ax+b,
logo
T(p)(x)=p(x)-p'(x)=ax^{2}+bx+c-(2ax+b).
Reagrupando termos semelhantes:
T(p)(x)=ax^{2}+(b-2a)x+(c-b).

Passo 6

Imponha T(p)=0\) (o polinômio nulo). Isso significa que todos os coeficientes do polinômio \(T(p)\) devem ser zero. Logo obtemos o sistema \[\begin{cases} \text{coeficiente de }x^{2}: & a=0,\\[4pt] \text{coeficiente de }x: & b-2a=0,\\[4pt] \text{termo constante: } & c-b=0. \end{cases}
Usando a=0\] na segunda equação dá \(b-2\cdot0=b=0. Usando b=0 na terceira dá c-0=c=0. Portanto a=b=c=0.]

Passo 7

Conclusão: o único polinômio em P_{2} que satisfaz T(p)=0 é o polinômio nulo p(x)\equiv0. Assim o núcleo é apenas o conjunto contendo o polinômio zero. (Como comentário útil: isso mostra também que T é injetora, mas o enunciado só pedia o núcleo.)

Resposta

a) T é linear.
b) \ker(T)=\{0\}

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