Considere
dada por
.
a) Mostre que
é uma transformação linear.
b) Obtenha o núcleo de
.
a) Mostre que
b) Obtenha o núcleo de
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear (?)
definida por
Dados e pedidos:
- Domínio e contradomínio: o espaço
das polinômios de grau menor ou igual a . - A tarefa (a): mostrar que
é transformação linear. - A tarefa (b): determinar o núcleo de
, isto é, todos os tais que .
Passo 2
O que significa ser linear? Uma aplicação
é linear se, para quaisquer
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
Estratégia: vou usar que a derivada é uma aplicação linear (ou seja,
e
). A partir disso mostro as duas propriedades acima aplicando a definição
.
Passo 3
Mostro a linearidade diretamente usando as propriedades da derivada.
Sejam
. Então
Seja
um escalar e
. Então
Portanto
satisfaz aditividade e homogeneidade, logo
é linear. (Fim da parte (a).)
Passo 4
Agora vamos encontrar o núcleo. Lembrete: o núcleo é
onde
é o polinômio nulo (todos os coeficientes zero). Para resolver
é prático escrever um polinômio genérico em
.
Escreva um polinômio genérico
com
escalares reais (ou no corpo considerado).
Passo 5
Calcule a derivada e
. Temos
logo
Reagrupando termos semelhantes:
Passo 6
Imponha
Usando
. Usando
na terceira dá
. Portanto
.]
Passo 7
Conclusão: o único polinômio em
que satisfaz
é o polinômio nulo
. Assim o núcleo é apenas o conjunto contendo o polinômio zero. (Como comentário útil: isso mostra também que
é injetora, mas o enunciado só pedia o núcleo.)
Resposta
a)
é linear.
b)
b)