Nos exercícios 27 a 30, obtenha a expressão da transformação linear T a partir de sua matriz canônica. [T]=\left[\begin{array}{rr}3 & -2 \\\\ 4 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz canônica de uma transformação linear T e pede que eu obtenha a expressão de T. A matriz fornecida é
A matriz tem 3 linhas e 2 colunas, portanto T é uma transformação que vai de \mathbb{R}^{2} para \mathbb{R}^{3}.
As entradas da matriz são, por coluna:
primeira coluna \begin{pmatrix}3\\\ 4\\\ 1\end{pmatrix},
segunda coluna \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
O que é pedido: escrever T como fórmula que dá T(x,y) para um vetor genérico (x,y)\in\mathbb{R}^2.]
Passo 2
Entendendo o que significa a matriz canônica (passo-a-passo didático).
Definição prática: as colunas de [T] são as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^2. Escrevendo a base canônica:e_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad e_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
Portanto, a primeira coluna é T(e_1) e a segunda coluna é T(e_2). Pegando as colunas da matriz dada:T(e_1)=\begin{pmatrix}3\\[4pt]4\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad T(e_2)=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Explicando por quê (curtinho): qualquer vetor (x,y) em \mathbb{R}^2 pode ser escrito como x e_1 + y e_2. Pela linearidade de T, T(x e_1+y e_2)=xT(e_1)+yT(e_2). Isso é a ferramenta que vou usar.]
Passo 3
Aplicando a linearidade para obter T(x,y).
Seja um vetor genérico (x,y)\in\mathbb{R}^2. Escrevo:(x,y)=x e_1 + y e_2.
Aplico T e uso linearidade:T(x,y)=x\,T(e_1)+y\,T(e_2).
Substituo os vetores que achei no passo anterior:T(x,y)=x\begin{pmatrix}3\\[4pt]4\\[4pt]1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]
Passo 4
Faço as multiplicações escalares e a soma coordenada a coordenada (mostrando tudo para você conseguir reproduzir na prova).
Multiplicando e somando coordenadas:T(x,y)=\begin{pmatrix}3x\\[4pt]4x\\[4pt]1x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2y\\[4pt]1y\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3x-2y\\[4pt]4x+y\\[4pt]x\end{pmatrix}.
Observação prática: isso é exatamente o resultado da multiplicação matricial [T]\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, que fornece as mesmas coordenadas.]
Passo 5
Verificação rápida com um exemplo numérico para fixar (você pode pular isso na prova, é só para ganhar confiança).
Pegue (x,y)=(2,1). Pela fórmula:T(2,1)=\begin{pmatrix}3\cdot2-2\cdot1\\[4pt]4\cdot2+1\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6-2\\[4pt]8+1\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\\ 9\\\ 2\end{pmatrix}.
Se multiplicar a matriz por \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} também dá \begin{pmatrix}4\\\ 9\\\ 2\end{pmatrix}. Beleza — está consistente.]