Nos exercícios 27 a 30, obtenha a expressão da transformação linear T a partir de sua matriz canônica.
[T]=\left[\begin{array}{rr}-1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: obter a expressão da transformação linear T a partir da sua matriz canônica. A informação fornecida é a matriz (na base canônica de \mathbb{R}^2):
[T]=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Primeiro passo técnico: lembrar o que significam as colunas da matriz em relação à base canônica. Denotando os vetores da base canônica por
e_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad e_2=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix},
as colunas de [T] são exatamente as imagens desses vetores:
T(e_1)=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad T(e_2)=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Isto foi obtido lendo as colunas da matriz: primeira coluna \begin{pmatrix}-1\\\ 0\end{pmatrix}, segunda coluna \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora use a linearidade de T. Para um vetor genérico \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2 (onde x,y são escalares reais), esse vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base:
\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=x\,e_1+y\,e_2.
Como T é linear, vale
T\!\left(\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}\right)=x\,T(e_1)+y\,T(e_2).
Aqui a propriedade usada é a definição de transformação linear: T(a u + b v)=aT(u)+bT(v) para quaisquer escalares a,b e vetores u,v.]

Passo 4

Substituindo os valores de T(e_1) e T(e_2) que pegamos da matriz:
T\!\left(\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}\right) = x\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Calcule componente a componente:
x\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad y\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2y\\[2pt]y\end{pmatrix}.
Somando:
\begin{pmatrix}-x\\[2pt]0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2y\\[2pt]y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-x+2y\\[2pt]y\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação alternativa por multiplicação matricial (mesma ideia, só outra notação). Multiplicando [T] pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\cdot x + 2\cdot y\\[6pt] 0\cdot x + 1\cdot y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x+2y\\[2pt]y\end{pmatrix},
o que confirma o resultado anterior.]

Passo 6

Para fixar a ideia, alguns exemplos rápidos:
T\!\left(\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad T\!\left(\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix},
T\!\left(\begin{pmatrix}3\\[2pt]2\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}-3+4\\[2pt]2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}.]

Resposta

T\!\left(\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}-x+2y\\[2pt]y\end{pmatrix}]

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