Nos exercícios 1 a 10, verifique se as funções são transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad T(x, y)=(|x|,-x+2 y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\qquad T(x,y) = (|x|,\,-x+2y)
é uma transformação linear.
Informações dadas:
  • O domínio e contradomínio são \mathbb{R}^{2}.
  • A regra de T tem duas componentes: a primeira é |x| (valor absoluto de x) e a segunda é -x+2y.

Passo 2

Definição e condições que vou usar (explicadas devagar): uma aplicação linear T deve satisfazer duas propriedades para todos os vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e todo escalar c\in\mathbb{R}:
  1. Aditividade (ou soma):
T(u+v)=T(u)+T(v).
Isto significa: se somo dois vetores e aplico T uma vez, o resultado tem que ser igual a somar T de cada um dos vetores separadamente.
  1. Homogeneidade (ou compatibilidade com escalares):
T(c\,u)=c\,T(u).
Isto significa: se escalo um vetor antes de aplicar T, é o mesmo que aplicar T e depois escalar o resultado.
Observação útil (consequência das duas): toda transformação linear deve enviar o vetor zero para o vetor zero, isto é,
T(0,0)=(0,0).
Prova curta: T(0)=T(0\cdot 0)=0\cdot T(0)=(0,0). Vou usar essas condições para testar T.

Passo 3

Calculo direto de T(0,0) para ver a consequência sobre o vetor zero:
T(0,0)=(|0|,\,-0+2\cdot 0)=(0,0).
Portanto T satisfaz a condição necessária T(0)=0. Atenção: isto é necessário mas não é suficiente para garantir linearidade — temos que checar as duas propriedades acima.

Passo 4

Teste da homogeneidade com um escalar negativo (um teste simples que costuma denunciar o valor absoluto). Tome o vetor
u=(1,0)
e o escalar c=-1. Primeiro calcule T(u):
T(1,0)=(|1|,\,-1+2\cdot 0)=(1,-1).
Agora calcule T(c\,u)=T(-1\cdot(1,0))=T(-1,0):
T(-1,0)=(|-1|,\,-(-1)+2\cdot 0)=(1,1).
Compare com c\,T(u)= -1\cdot(1,-1)=(-1,1). Assim:
T(-1\cdot u)=(1,1)\qquad\text{e}\qquad -1\cdot T(u)=(-1,1).
Como (1,1)\neq(-1,1), a igualdade T(cu)=cT(u) falha para c=-1 e u=(1,0). Logo a propriedade de homogeneidade não é satisfeita por T.

Passo 5

Vou também mostrar falha da aditividade com um exemplo simples (opcional, mas didático). Tome
u=(1,0),\qquad v=(-1,0).
Então u+v=(0,0). Calcule T(u+v) e T(u)+T(v):
T(u+v)=T(0,0)=(0,0).
T(u)=(|1|,\,-1+0)=(1,-1),\qquad T(v)=(|-1|,\,-(-1)+0)=(1,1).
Somando:
T(u)+T(v)=(1,-1)+(1,1)=(2,0).
Como (0,0)\neq(2,0), a aditividade T(u+v)=T(u)+T(v) também falha. Isso reforça que T não é linear.

Passo 6

Interpretação didática: o problema vem da primeira componente |x|. Funções valor-absoluto não preservam o sinal, então em geral |c x|\neq c|x| quando c<0. Essa quebra da regra de homogeneidade (para escalares negativos) é o motivo pelo qual T não é linear, mesmo que a segunda componente -x+2y seja uma combinação linear das coordenadas.

Resposta

Não; T não é uma transformação linear.

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