Nos exercícios 1 a 10, verifique se as funções são transformações lineares.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é uma transformação linear.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O domínio e contradomínio são
. - A regra de
tem duas componentes: a primeira é (valor absoluto de ) e a segunda é .
Passo 2
Definição e condições que vou usar (explicadas devagar): uma aplicação linear
deve satisfazer duas propriedades para todos os vetores
e todo escalar
:
- Aditividade (ou soma):
Isto significa: se somo dois vetores e aplico
uma vez, o resultado tem que ser igual a somar
de cada um dos vetores separadamente.
- Homogeneidade (ou compatibilidade com escalares):
Isto significa: se escalo um vetor antes de aplicar
, é o mesmo que aplicar
e depois escalar o resultado.
Observação útil (consequência das duas): toda transformação linear deve enviar o vetor zero para o vetor zero, isto é,
Prova curta:
. Vou usar essas condições para testar
.
Passo 3
Calculo direto de
para ver a consequência sobre o vetor zero:
Portanto
satisfaz a condição necessária
. Atenção: isto é necessário mas não é suficiente para garantir linearidade — temos que checar as duas propriedades acima.
Passo 4
Teste da homogeneidade com um escalar negativo (um teste simples que costuma denunciar o valor absoluto). Tome o vetor
e o escalar
. Primeiro calcule
:
Agora calcule
:
Compare com
. Assim:
Como
, a igualdade
falha para
e
. Logo a propriedade de homogeneidade não é satisfeita por
.
Passo 5
Vou também mostrar falha da aditividade com um exemplo simples (opcional, mas didático). Tome
Então
. Calcule
e
:
Já
Somando:
Como
, a aditividade
também falha. Isso reforça que
não é linear.
Passo 6
Interpretação didática: o problema vem da primeira componente
. Funções valor-absoluto não preservam o sinal, então em geral
quando
. Essa quebra da regra de homogeneidade (para escalares negativos) é o motivo pelo qual
não é linear, mesmo que a segunda componente
seja uma combinação linear das coordenadas.
Resposta
Não;
não é uma transformação linear.