Nos exercícios 23 a 26, obtenha a matriz canônica da transformação linear
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
O que é pedido: obter a matriz canônica (matriz que representa
nas bases padrão de
e
).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A regra de
para um vetor qualquer . - Domínio:
. - Contradomínio:
.
Passo 2
Vamos lembrar quais são as bases padrão (ou canônicas) que usamos por convenção:
em
, e em
a base padrão é
Esses vetores são os blocos de construção: qualquer vetor
em
é
.
Passo 3
Definição prática da matriz canônica de uma transformação linear: as colunas da matriz são as imagens dos vetores da base do domínio expressas nas coordenadas da base do contradomínio. Ou seja, a matriz canônica
de
(relativa às bases padrão) tem colunas
Isto vale porque
é linear: para
temos
e a multiplicação matricial com a matriz cujas colunas são
reproduz exatamente essa combinação linear.
Passo 4
Calcular
. Substituindo na regra de
:
Passo 5
Calcular
. Substituindo na regra de
:
Passo 6
Calcular
. Substituindo na regra de
:
Passo 7
Agora montar a matriz canônica: cada coluna é a imagem do correspondente vetor da base do domínio, escrita em coordenadas da base padrão de
. As colunas são
,
,
. Para checar rapidamente, multiplicando essa matriz por
deve voltar a dar
.