Nos exercícios 23 a 26, obtenha a matriz canônica da transformação linear T.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad T(x, y, z)=(2 x+y-z, x+2 y)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad T(x,y,z)=(2x+y-z,\;x+2y).
O que é pedido: obter a matriz canônica (matriz que representa T nas bases padrão de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^2).
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra de T para um vetor qualquer (x,y,z).
  • Domínio: \mathbb{R}^3.
  • Contradomínio: \mathbb{R}^2.

Passo 2

Vamos lembrar quais são as bases padrão (ou canônicas) que usamos por convenção:
e_1=(1,0,0),\qquad e_2=(0,1,0),\qquad e_3=(0,0,1)
em \mathbb{R}^3, e em \mathbb{R}^2 a base padrão é
f_1=(1,0),\qquad f_2=(0,1).
Esses vetores são os blocos de construção: qualquer vetor (x,y,z) em \mathbb{R}^3 é x e_1+y e_2+z e_3.

Passo 3

Definição prática da matriz canônica de uma transformação linear: as colunas da matriz são as imagens dos vetores da base do domínio expressas nas coordenadas da base do contradomínio. Ou seja, a matriz canônica A de T (relativa às bases padrão) tem colunas
\text{col}_1 = T(e_1),\qquad \text{col}_2 = T(e_2),\qquad \text{col}_3 = T(e_3).
Isto vale porque T é linear: para (x,y,z)=x e_1+y e_2+z e_3 temos
T(x,y,z)=xT(e_1)+yT(e_2)+zT(e_3),
e a multiplicação matricial com a matriz cujas colunas são T(e_j) reproduz exatamente essa combinação linear.

Passo 4

Calcular T(e_1)=T(1,0,0). Substituindo na regra de T:
T(1,0,0)=\bigl(2\cdot 1 + 0 - 0,\;1 + 2\cdot 0\bigr)=(2,1).

Passo 5

Calcular T(e_2)=T(0,1,0). Substituindo na regra de T:
T(0,1,0)=\bigl(2\cdot 0 + 1 - 0,\;0 + 2\cdot 1\bigr)=(1,2).

Passo 6

Calcular T(e_3)=T(0,0,1). Substituindo na regra de T:
T(0,0,1)=\bigl(2\cdot 0 + 0 - 1,\;0 + 2\cdot 0\bigr)=(-1,0).

Passo 7

Agora montar a matriz canônica: cada coluna é a imagem do correspondente vetor da base do domínio, escrita em coordenadas da base padrão de \mathbb{R}^2. As colunas são T(e_1)=(2,1), T(e_2)=(1,2), T(e_3)=(-1,0). Para checar rapidamente, multiplicando essa matriz por (x,y,z) deve voltar a dar T(x,y,z).

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}]

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