a) Se T é um operador Linear e A é base de V então T(A) é base.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado um operador linear Tcolon Vto V e uma base A=a1,dots,an de V, o conjunto T(A)=T(a1),dots,T(an) também é base de V. O conteúdo envolve as noções de base (geração e independência linear) e as propriedades de imagem e núcleo de uma transformação linear.

Passo 2

Lembrando a definição, uma família v1,dots,vnsubset V é base de V se e somente se cumprir duas condições:
  1. Geração: todo vin V pode ser escrito como combinação linear dos vi.
  2. Independência linear: sumi=1^nalphai vi=0 implica alpha1=cdots=alphan=0.

Passo 3

Analisando a geração de T(A): o subespaço gerado por T(A) é exatamente a imagem de T, isto é,
lang<= T(A)rang<= = Im(T)
Logo, para que lang<= T(A)rang<= = V precisamos de Im(T)=V, ou seja, que T seja sobrejetora.

Passo 4

Analisando a independência linear de T(A): suponha que
sumi=1^n alphai,T(ai)=0
Pela linearidade de T isso é
Tl(sumi=1^n alphai air)=0,
ou seja, sumi=1^n alphai aiinker(T). Para concluir que todos os alphai são zero, precisamos de ker(T)=0, isto é, que T seja injetora.

Passo 5

Com isso vemos que T(A) satisfaz geração e independência linear simultaneamente se, e somente se, T for bijetora (sobrejetora e injetora). Em outras palavras, T(A) é base de V exatamente quando T é invertível.

Passo 6

Para ver que a afirmação original é falsa em geral, considere o operador zero T0colon Vto V definido por T0(v)=0 para todo v. Se A é base de V, então
T0(A)=0,0,dots,0
não gera V e nem é independente. Logo, sem a bijetividade de T, não vale que T(A) seja base.

Resposta

A afirmação é falsa em geral. O conjunto T(A) é base de V se e somente se o operador T for invertível (bijetivo).

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