a) Se
é um operador Linear e
é base de
então
é base.
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado um operador linear
e uma base
de
, o conjunto
também é base de
. O conteúdo envolve as noções de base (geração e independência linear) e as propriedades de imagem e núcleo de uma transformação linear.
Passo 2
Lembrando a definição, uma família
é base de
se e somente se cumprir duas condições:
- Geração: todo
pode ser escrito como combinação linear dos . - Independência linear:
implica .
Passo 3
Analisando a geração de
: o subespaço gerado por
é exatamente a imagem de
, isto é,
Logo, para que
precisamos de
, ou seja, que
seja sobrejetora.
Passo 4
Analisando a independência linear de
: suponha que
Pela linearidade de
isso é
ou seja,
. Para concluir que todos os
são zero, precisamos de
, isto é, que
seja injetora.
Passo 5
Com isso vemos que
satisfaz geração e independência linear simultaneamente se, e somente se,
for bijetora (sobrejetora e injetora). Em outras palavras,
é base de
exatamente quando
é invertível.
Passo 6
Para ver que a afirmação original é falsa em geral, considere o operador zero
definido por
para todo
. Se
é base de
, então
não gera
e nem é independente. Logo, sem a bijetividade de
, não vale que
seja base.
Resposta
A afirmação é falsa em geral. O conjunto
é base de
se e somente se o operador
for invertível (bijetivo).