Fixada uma base em um espaço vetorial , sabemos que cada vetor se escreve de modo único como combinação linear dos vetores de . Chamamos de coordenadas de um vetor numa base aos coeficientes dessa combinação linear (admitindo fixada a ordem dos vetores dessa base).
Por exemplo, fixada a base de , o vetor tem como coordenadas , pois:
p(t)=0 cdot t^3+3 cdot t^2+0 cdot t+2 cdot 1
Seja V=P3(R) e beta=t^3+t, t^3+t^2, t^3+1, t^2+1 uma base para V.
Encontre as coordenadas dos vetores da base canônica beta^prime=t^3, t^2, t, 1 em relação à base beta.
Passo 1
O espaço vetorial é V=P3(R) e a base fixa é
beta=,b1=t^3+t,;b2=t^3+t^2,;b3=t^3+1,;b4=t^2+1
Queremos expressar cada vetor da base canônica
beta'=,t^3,,t^2,,t,,1
como combinação linear de b1,b2,b3,b4. Os coeficientes dessa combinação serão as coordenadas buscadas.
Passo 2
Para
Isto é,
Agrupando termos obtemos o sistema
Daí , e . Logo
]
Passo 3
Para ,t^2, análogo, resolvemos
a+b+c=0, b+d=1, a=0, c+d=0
Segue a=0, d=-b, c=-d=b e 2b=0!-!1 ,Rightarrow b=tfrac12, c=-tfrac12, d=tfrac12. Assim
[t^2]beta =0tfrac12[-3pt]-tfrac12tfrac12
]
Passo 4
Para ,t, o sistema é
a+b+c=0, b+d=0, a=1, c+d=0
Daí a=1, d=-b, c=b e 1+2b=0 ,Rightarrow b=-tfrac12, c=-tfrac12, d=tfrac12. Logo