Fixada uma base beta em um espaço vetorial V, sabemos que cada vetor v se escreve de modo único como combinação linear dos vetores de beta. Chamamos de coordenadas de um vetor numa base aos coeficientes dessa combinação linear (admitindo fixada a ordem dos vetores dessa base).
Por exemplo, fixada a base alpha=t^3, t^2, t, 1 de P3(R), o vetor p(t)=3 t^2+2 tem como coordenadas [p(t)]beta=[l0 3 0 2], pois:
p(t)=0 cdot t^3+3 cdot t^2+0 cdot t+2 cdot 1
Seja V=P3(R) e beta=t^3+t, t^3+t^2, t^3+1, t^2+1 uma base para V.
Encontre as coordenadas dos vetores da base canônica beta^prime=t^3, t^2, t, 1 em relação à base beta.

Passo 1

O espaço vetorial é V=P3(R) e a base fixa é
beta=,b1=t^3+t,;b2=t^3+t^2,;b3=t^3+1,;b4=t^2+1
Queremos expressar cada vetor da base canônica
beta'=,t^3,,t^2,,t,,1
como combinação linear de b1,b2,b3,b4. Os coeficientes dessa combinação serão as coordenadas buscadas.

Passo 2

Para
Isto é,
Agrupando termos obtemos o sistema
Daí , e . Logo
]

Passo 3

Para ,t^2, análogo, resolvemos
a+b+c=0, b+d=1, a=0, c+d=0
Segue a=0, d=-b, c=-d=b e 2b=0!-!1 ,Rightarrow b=tfrac12, c=-tfrac12, d=tfrac12. Assim
[t^2]beta =0tfrac12[-3pt]-tfrac12tfrac12
]

Passo 4

Para ,t, o sistema é
a+b+c=0, b+d=0, a=1, c+d=0
Daí a=1, d=-b, c=b e 1+2b=0 ,Rightarrow b=-tfrac12, c=-tfrac12, d=tfrac12. Logo
[t]beta =1[-3pt]-tfrac12[-3pt]-tfrac12tfrac12
]

Passo 5

Para 1, resolvemos
a+b+c=0, b+d=0, a=0, c+d=1
Temos a=0, d=-b, c=1-d=1+b e 2b+1=0 ,Rightarrow b=-tfrac12, c=tfrac12, d=tfrac12. Portanto
[1]beta =0[-3pt]-tfrac12tfrac12tfrac12
]

Resposta

[t^3]beta =0tfrac12tfrac12-tfrac12, [t^2]beta =0tfrac12-tfrac12tfrac12, [t]beta =1-tfrac12-tfrac12tfrac12, [1]beta =0-tfrac12tfrac12tfrac12

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