Considere
a transformação linear que projeta o vetor
em
.
Determine as dimensões do núcleo e da imagem de
.
Determine as dimensões do núcleo e da imagem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado do exercício fala sobre uma transformação linear
que projeta um vetor
no vetor
. Nosso objetivo é descobrir as dimensões do núcleo (conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero) e da imagem (conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos através da transformação
). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como transformação linear, núcleo e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a imagem de
, que é o conjunto de todos os vetores que
pode produzir. Como
está mapeando qualquer vetor
para um múltiplo de
, ou seja,
, onde
é um escalar, a imagem de
é o conjunto de todos os múltiplos de
. Isso significa que a imagem de
é uma linha que passa pela origem e é direcionada pelo vetor
. Como é uma linha, a dimensão da imagem é 1.
Passo 3
Agora, vamos ver o núcleo de
, que consiste em todos os vetores
tais que
. Dado que
é a projeção de
em
, para que
, o vetor
deve ser perpendicular a
. Em
, todos os vetores que são perpendiculares a um vetor fixo
formam um plano. Portanto, o núcleo de
é esse plano perpendicular a
. Como um plano em
tem duas dimensões, a dimensão do núcleo é 2.
Resposta
O núcleo de
tem dimensão 2 e a imagem de
tem dimensão 1.