Considere T: R^3 R^3 a transformação linear que projeta o vetor u em v=(2,-1,1).
Determine as dimensões do núcleo e da imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado do exercício fala sobre uma transformação linear T: R^3 R^3 que projeta um vetor u no vetor v = (2, -1, 1) . Nosso objetivo é descobrir as dimensões do núcleo (conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero) e da imagem (conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos através da transformação T ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como transformação linear, núcleo e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a imagem de T , que é o conjunto de todos os vetores que T pode produzir. Como T está mapeando qualquer vetor u para um múltiplo de v , ou seja, T(u) = k cdot v , onde k é um escalar, a imagem de T é o conjunto de todos os múltiplos de v . Isso significa que a imagem de T é uma linha que passa pela origem e é direcionada pelo vetor v = (2, -1, 1) . Como é uma linha, a dimensão da imagem é 1.

Passo 3

Agora, vamos ver o núcleo de T , que consiste em todos os vetores u tais que T(u) = 0 . Dado que T(u) é a projeção de u em v , para que T(u) = 0 , o vetor u deve ser perpendicular a v . Em R^3, todos os vetores que são perpendiculares a um vetor fixo v formam um plano. Portanto, o núcleo de T é esse plano perpendicular a v . Como um plano em R^3 tem duas dimensões, a dimensão do núcleo é 2.

Resposta

O núcleo de T tem dimensão 2 e a imagem de T tem dimensão 1.

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