Considere a transformação linear que projeta o vetor em .
A matriz da transformação linear considerando a base canônica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que fala sobre transformações lineares. Especificamente, temos uma transformação que projeta qualquer vetor no vetor . Nosso objetivo é descobrir qual é a matriz dessa transformação quando estamos usando a base canônica (que é aquela base padrão, com vetores como , , e ).
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a projeção de vetores e como representar essa operação com uma matriz. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é feita a projeção de um vetor em outro vetor . A fórmula para a projeção de em é:
Aqui, representa o produto escalar (também conhecido como produto interno) entre e , e é o produto escalar de consigo mesmo, que dá o quadrado da magnitude de .
Passo 3
Agora, queremos representar essa projeção como uma transformação linear, ou seja, queremos encontrar uma matriz tal que:
A fórmula para a matriz de projeção em relação a é:
Onde:
é o produto externo de com ele mesmo, resultando em uma matriz.
é o produto interno de com ele mesmo, que já calculamos anteriormente.
Passo 4
Vamos calcular e para o vetor :
Primeiro, o produto externo :
Agora, o produto interno v^T v :
v^T v = 2 times 2 + (-1) times (-1) + 1 times 1 = 4 + 1 + 1 = 6