Considere T: R^3 R^3 a transformação linear que projeta o vetor u em v=(2,-1,1).
A matriz da transformação linear considerando a base canônica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que fala sobre transformações lineares. Especificamente, temos uma transformação T: R^3 R^3 que projeta qualquer vetor u no vetor v = (2, -1, 1) . Nosso objetivo é descobrir qual é a matriz dessa transformação quando estamos usando a base canônica (que é aquela base padrão, com vetores como (1,0,0) , (0,1,0) , e (0,0,1) ).
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a projeção de vetores e como representar essa operação com uma matriz. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é feita a projeção de um vetor u em outro vetor v . A fórmula para a projeção de u em v é:
Projv(u) = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u cdot v representa o produto escalar (também conhecido como produto interno) entre u e v , e v cdot v é o produto escalar de v consigo mesmo, que dá o quadrado da magnitude de v .

Passo 3

Agora, queremos representar essa projeção como uma transformação linear, ou seja, queremos encontrar uma matriz A tal que:
A u = Projv(u)
A fórmula para a matriz de projeção em relação a v é:
A = v v^Tv^T v
Onde:
  • v v^T é o produto externo de v com ele mesmo, resultando em uma matriz.
  • v^T v é o produto interno de v com ele mesmo, que já calculamos anteriormente.

Passo 4

Vamos calcular v v^T e v^T v para o vetor v = (2, -1, 1) :
Primeiro, o produto externo v v^T :
v v^T = 2 -1 1 2 & -1 & 1 = 4 & -2 & 2 -2 & 1 & -1 2 & -1 & 1
Agora, o produto interno v^T v :
v^T v = 2 times 2 + (-1) times (-1) + 1 times 1 = 4 + 1 + 1 = 6

Passo 5

Com esses valores, podemos montar a matriz A :
A = v v^Tv^T v = 16 4 & -2 & 2 -2 & 1 & -1 2 & -1 & 1 = 46 & -26 & 26 -26 & 16 & -16 26 & -16 & 16
Podemos simplificar as frações:
A = 23 & -13 & 13 -13 & 16 & -16 13 & -16 & 16

Resposta

A matriz da transformação linear T é:
A = dfrac23 & -dfrac13 & dfrac13 [6px] -dfrac13 & dfrac16 & -dfrac16 [6px] dfrac13 & -dfrac16 & dfrac16
]

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