Quais espaços vetoriais abaixo são isomorfos à
? Justifique sua resposta construindo um isomorfismo ou explicando a impossibilidade.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subespaço
de
é isomorfo a
. Vamos usar o conceito de dimensão de espaço vetorial e a definição de isomorfismo (aplicação linear bijetora).
Passo 2
Note que fixamos a quarta coordenada igual a zero e deixamos livres as outras seis coordenadas
. Isso significa que uma base natural de
é
onde
é o vetor canônico de
. Logo
Passo 3
Como
e
, existe um isomorfismo entre
e
. Basta construir explicitamente uma aplicação linear bijetora.
Passo 4
Definimos
É fácil ver que
é linear, injetora (se
então todas as coordenadas de
são zero) e sobrejetora (dado qualquer
em
, escolhemos
em
tal que
). Portanto
é isomorfismo.
Resposta
O espaço
é isomorfo a
via o isomorfismo