Quais espaços vetoriais abaixo são isomorfos à R^6 ? Justifique sua resposta construindo um isomorfismo ou explicando a impossibilidade.
A=(x1, x2, x3, 0, x5, x6, x7): xi in R

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subespaço
A = (x1,x2,x3,0,x5,x6,x7) : xiinR
de R^7 é isomorfo a R^6. Vamos usar o conceito de dimensão de espaço vetorial e a definição de isomorfismo (aplicação linear bijetora).

Passo 2

Note que fixamos a quarta coordenada igual a zero e deixamos livres as outras seis coordenadas x1,x2,x3,x5,x6,x7. Isso significa que uma base natural de A é
e1,e2,e3,e5,e6,e7
onde ei é o vetor canônico de R^7. Logo
dim(A)=6

Passo 3

Como dim(R^6)=6 e dim(A)=6, existe um isomorfismo entre A e R^6. Basta construir explicitamente uma aplicação linear bijetora.

Passo 4

Definimos
varphicolon A to R^6, varphi(x1,x2,x3,0,x5,x6,x7) = (x1,x2,x3,x5,x6,x7)
É fácil ver que varphi é linear, injetora (se varphi(v)=0 então todas as coordenadas de v são zero) e sobrejetora (dado qualquer (y1,dots,y6) em R^6, escolhemos v=(y1,y2,y3,0,y4,y5,y6) em A tal que varphi(v)=(y1,dots,y6)). Portanto varphi é isomorfismo.

Resposta

O espaço A é isomorfo a R^6 via o isomorfismo
varphi(x1,x2,x3,0,x5,x6,x7) = (x1,x2,x3,x5,x6,x7)

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