Considere
a transformação linear que projeta o vetor
em
.
Determine um base para núcleo de
.
Determine um base para núcleo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear
que projeta qualquer vetor
no vetor
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para o núcleo de
. Isso significa que queremos descobrir todos os vetores que, quando aplicamos a transformação
, acabam no vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou kernel, de
é o conjunto de todos os vetores
em
que satisfazem
. No nosso caso,
é a projeção de
em
. Então, queremos encontrar todos os vetores
que, ao serem projetados em
, dão o vetor zero.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar como funciona a projeção de um vetor em outro. A fórmula para projetar
em
é:
Para que essa projeção seja zero, o numerador da fração deve ser zero, ou seja:
Isso significa que
e
são vetores ortogonais (perpendiculares).
Passo 4
Então, vamos escrever isso de forma matemática. Seja
, temos:
Essa é a equação que define o núcleo de
. Vamos resolver essa equação para encontrar todos os vetores
que satisfazem essa condição.
Passo 5
Vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Por exemplo, podemos resolver para
:
Então, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como:
Isso mostra que os vetores
e
são vetores que formam uma base para o núcleo de
.
Resposta
Uma base para o núcleo de
é
.