Considere T: R^3 R^3 a transformação linear que projeta o vetor u em v=(2,-1,1).
Determine um base para núcleo de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^3 que projeta qualquer vetor u no vetor v = (2, -1, 1) . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para o núcleo de T . Isso significa que queremos descobrir todos os vetores que, quando aplicamos a transformação T , acabam no vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou kernel, de T é o conjunto de todos os vetores u em R^3 que satisfazem T(u) = 0 . No nosso caso, T(u) é a projeção de u em v . Então, queremos encontrar todos os vetores u que, ao serem projetados em v , dão o vetor zero.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar como funciona a projeção de um vetor em outro. A fórmula para projetar u em v é:
projv(u) = ( u cdot vv cdot v ) v
Para que essa projeção seja zero, o numerador da fração deve ser zero, ou seja:
u cdot v = 0
Isso significa que u e v são vetores ortogonais (perpendiculares).

Passo 4

Então, vamos escrever isso de forma matemática. Seja u = (x, y, z) , temos:
u cdot v = 2x - y + z = 0
Essa é a equação que define o núcleo de T . Vamos resolver essa equação para encontrar todos os vetores (x, y, z) que satisfazem essa condição.

Passo 5

Vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Por exemplo, podemos resolver para z :
z = -2x + y
Então, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como:
u = (x, y, -2x + y) = x(1, 0, -2) + y(0, 1, 1)
Isso mostra que os vetores (1, 0, -2) e (0, 1, 1) são vetores que formam uma base para o núcleo de T .

Resposta

Uma base para o núcleo de T é , (1, 0, -2), (0, 1, 1) ,.

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