Considere a transformação linear que projeta o vetor em .
A matriz da transformação linear considerando a base canônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a matriz da transformação linear que projeta um vetor no vetor . Para isso, vamos usar o conceito de projeção de vetores e construir a matriz dessa transformação usando a base canônica.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como funciona a projeção de um vetor em outro vetor . A fórmula para a projeção de em é:
Aqui, é o produto interno (ou ponto) entre e , e é o produto interno de consigo mesmo.
Passo 3
Para transformar isso em uma matriz, vamos considerar que a transformação pode ser representada por uma matriz tal que . A matriz que realiza a projeção em é dada por:
Onde é a transposta de .
Passo 4
Vamos calcular primeiro. Dado :
Passo 5
Agora, calculamos o produto :
Passo 6
Finalmente, para obter a matriz A da transformação linear T , dividimos cada elemento de v v^T por v^T v :