Considere T: R^3 R^3 a transformação linear que projeta o vetor u em v=(1,-1,3).
A matriz da transformação linear considerando a base canônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a matriz da transformação linear T: R^3 R^3 que projeta um vetor u no vetor v = (1, -1, 3) . Para isso, vamos usar o conceito de projeção de vetores e construir a matriz dessa transformação usando a base canônica.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como funciona a projeção de um vetor u em outro vetor v . A fórmula para a projeção de u em v é:
Projv(u) = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u cdot v é o produto interno (ou ponto) entre u e v , e v cdot v é o produto interno de v consigo mesmo.

Passo 3

Para transformar isso em uma matriz, vamos considerar que a transformação T pode ser representada por uma matriz A tal que T(u) = A u . A matriz A que realiza a projeção em v é dada por:
A = v v^Tv^T v
Onde v^T é a transposta de v .

Passo 4

Vamos calcular v^T v primeiro. Dado v = (1, -1, 3) :
v^T v = 1^2 + (-1)^2 + 3^2 = 1 + 1 + 9 = 11

Passo 5

Agora, calculamos o produto v v^T :
v v^T = 1 -1 3 1 & -1 & 3 = 1 cdot 1 & 1 cdot (-1) & 1 cdot 3 -1 cdot 1 & -1 cdot (-1) & -1 cdot 3 3 cdot 1 & 3 cdot (-1) & 3 cdot 3 = 1 & -1 & 3 -1 & 1 & -3 3 & -3 & 9

Passo 6

Finalmente, para obter a matriz A da transformação linear T , dividimos cada elemento de v v^T por v^T v :
A = 111 1 & -1 & 3 -1 & 1 & -3 3 & -3 & 9 = 111 & -111 & 311 -111 & 111 & -311 311 & -311 & 911

Resposta

A matriz da transformação linear T na base canônica é:
111 & -111 & 311 -111 & 111 & -311 311 & -311 & 911

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