Considere
a transformação linear que projeta o vetor
em
.
Determine as dimensões do núcleo e da imagem de
.
Determine as dimensões do núcleo e da imagem de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear
que projeta um vetor
no vetor
. Nosso objetivo é descobrir as dimensões do núcleo (também conhecido como kernel) e da imagem dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como projeções, espaço vetorial, núcleo e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa projetar um vetor
no vetor
. Projetar
em
significa encontrar a componente de
que está na direção de
. A fórmula para a projeção de
em
é:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores
e
.
Passo 3
Sabendo disso, podemos representar a transformação linear
como:
Isso significa que
sempre será um múltiplo do vetor
, independentemente do vetor
que escolhemos.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem de
. A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de
. Como
sempre é um múltiplo de
, a imagem de
é a linha que passa pela origem e pelo vetor
. Ou seja, a imagem de
é o espaço gerado por
.
Como a imagem é gerada por um único vetor, a dimensão da imagem é 1.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o núcleo de
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero por
:
Usando a fórmula da projeção, temos:
Para que isso seja zero, o numerador
deve ser zero, pois
não é o vetor zero. Assim:
Isso significa que
deve ser ortogonal a
. Portanto, o núcleo de
é o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a
.
Passo 6
O conjunto de vetores ortogonais a
forma um plano em
, já que estamos em três dimensões e um vetor define uma direção. Portanto, o núcleo de
é um plano, o que significa que a dimensão do núcleo é 2.
Resposta
A dimensão do núcleo de
é 2 e a dimensão da imagem de
é 1.