Considere T: R^3 R^3 a transformação linear que projeta o vetor u em v=(1,-1,3).
Determine as dimensões do núcleo e da imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear T: R^3 R^3 que projeta um vetor u no vetor v = (1, -1, 3) . Nosso objetivo é descobrir as dimensões do núcleo (também conhecido como kernel) e da imagem dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como projeções, espaço vetorial, núcleo e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa projetar um vetor u no vetor v . Projetar u em v significa encontrar a componente de u que está na direção de v . A fórmula para a projeção de u em v é:
projv(u) = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores u e v .

Passo 3

Sabendo disso, podemos representar a transformação linear T como:
T(u) = projv(u) = ( u cdot vv cdot v ) v
Isso significa que T(u) sempre será um múltiplo do vetor v , independentemente do vetor u que escolhemos.

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem de T . A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando T a algum vetor de R^3 . Como T(u) sempre é um múltiplo de v , a imagem de T é a linha que passa pela origem e pelo vetor v . Ou seja, a imagem de T é o espaço gerado por v .
Im(T) = spanv
Como a imagem é gerada por um único vetor, a dimensão da imagem é 1.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o núcleo de T . O núcleo é o conjunto de todos os vetores u em R^3 que são mapeados para o vetor zero por T :
Ker(T) = u in R^3 mid T(u) = 0
Usando a fórmula da projeção, temos:
( u cdot vv cdot v ) v = 0
Para que isso seja zero, o numerador u cdot v deve ser zero, pois v não é o vetor zero. Assim:
u cdot v = 0
Isso significa que u deve ser ortogonal a v . Portanto, o núcleo de T é o conjunto de todos os vetores em R^3 que são ortogonais a v .

Passo 6

O conjunto de vetores ortogonais a v forma um plano em R^3 , já que estamos em três dimensões e um vetor define uma direção. Portanto, o núcleo de T é um plano, o que significa que a dimensão do núcleo é 2.

Resposta

A dimensão do núcleo de T é 2 e a dimensão da imagem de T é 1.

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