Considere
uma transformação linear. Mostre que:
Se
, então
não pode ser injetora.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se temos uma transformação linear
e
, então
não pode ser injetora.
Conteúdo usado: definição de transformação linear, injetividade (kernel trivial) e o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity theorem).
Conteúdo usado: definição de transformação linear, injetividade (kernel trivial) e o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity theorem).
Passo 2
Lembramos do Teorema do Núcleo e Imagem, que diz
Além disso, como
, vale
Passo 3
Usando essas desigualdades:
Logo
, ou seja, o núcleo de
contém vetores não nulos.
Passo 4
Mas injetividade exige
. Como
aqui tem dimensão positiva, ele não é trivial, então
não é injetora.
Resposta
Não pode ser injetora, pois pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos
, logo
.