Considere T: V W uma transformação linear. Mostre que:
Se dim V>dim W, então T não pode ser injetora.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se temos uma transformação linear
Tcolon V to W
e dim V > dim W, então T não pode ser injetora.
Conteúdo usado: definição de transformação linear, injetividade (kernel trivial) e o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity theorem).

Passo 2

Lembramos do Teorema do Núcleo e Imagem, que diz
dim V ;=; diml(ker Tr);+;diml(ImTr)
Além disso, como ImTsubseteq W, vale
diml(ImTr);<=;dim W

Passo 3

Usando essas desigualdades:
diml(ker Tr) ;=; dim V ;-;diml(ImTr) ;>=; dim V ;-;dim W ;>;0
Logo dim(ker T)>0, ou seja, o núcleo de T contém vetores não nulos.

Passo 4

Mas injetividade exige ker T=0. Como ker T aqui tem dimensão positiva, ele não é trivial, então T não é injetora.

Resposta

Não pode ser injetora, pois pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos dim(ker T)>0, logo ker Tneq0.

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