Considere
uma transformação linear. Mostre que:
Se
é um isomorfismo, então
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma transformação linear
e que
é um isomorfismo (isto é, é bijetora e linear). Queremos mostrar que
Para isso vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem), que relaciona
,
e
.
Passo 2
Recordando a definição de isomorfismo: dizer que
é isomorfismo equivale a
-
é injetora, isto é, . -
é sobrejetora, isto é, .
Passo 3
Aplicamos o Teorema da Dimensão, que vale para toda transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita:
Passo 4
Como
é injetora, temos
. Logo
Passo 5
Como
é sobrejetora, sua imagem é todo o espaço
. Assim
Passo 6
Substituindo no Teorema da Dimensão, vem