Considere T: V W uma transformação linear. Mostre que:
Se T é um isomorfismo, então dim V=dim W.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma transformação linear
Tcolon VtoW
e que T é um isomorfismo (isto é, é bijetora e linear). Queremos mostrar que
dim V = dim W
Para isso vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem), que relaciona dim V, dim ker T e dim ImT.

Passo 2

Recordando a definição de isomorfismo: dizer que T é isomorfismo equivale a
  1. T é injetora, isto é, ker T=0.
  2. T é sobrejetora, isto é, ImT=W.

Passo 3

Aplicamos o Teorema da Dimensão, que vale para toda transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita:
dim V =dim ker T ;+;dim ImT

Passo 4

Como T é injetora, temos ker T=0. Logo
dim ker T = 0

Passo 5

Como T é sobrejetora, sua imagem é todo o espaço W. Assim
dim ImT = dim W

Passo 6

Substituindo no Teorema da Dimensão, vem
dim V = underbracedim ker T0 + underbracedim ImTdim W = 0 + dim W = dim W

Resposta

dim V = dim W

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