Sejam
e
operadores lineares sobre um espaço
, tais que
Mostre que dim
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são operadores lineares em um espaço vetorial
e que
Queremos mostrar que
O conteúdo envolvido é núcleo de operador linear, dimensão do núcleo e injetividade.
Passo 2
Como
, temos
para
. Mas
significa exatamente que
é injetora:
se , então
.
se
Passo 3
Para qualquer
vale
Como
é injetora, disso segue
. E como
também é injetora, concluímos
. Logo