Sejam T1 e T2 operadores lineares sobre um espaço V, tais que
dim ker T1=dim ker T2=0
Mostre que dim ker(T1 circ T2)=0.

Passo 1

O enunciado diz que T1 e T2 são operadores lineares em um espaço vetorial V e que
dim ker T1 = dim ker T2 = 0
Queremos mostrar que
dim kerl(T1circ T2r)=0
O conteúdo envolvido é núcleo de operador linear, dimensão do núcleo e injetividade.

Passo 2

Como dim ker Ti=0, temos ker Ti=0 para i=1,2. Mas ker Ti=0 significa exatamente que Ti é injetora:
se Ti(v)=0, então v=0.

Passo 3

Para qualquer vin kerl(T1circ T2r) vale
l(T1circ T2r)(v)=0 Longrightarrow T1l(T2(v)r)=0
Como T1 é injetora, disso segue T2(v)=0. E como T2 também é injetora, concluímos v=0. Logo
kerl(T1circ T2r)=0

Resposta

dim kerl(T1circ T2r)=0.

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