Considere T: V W uma transformação linear. Mostre que:
Se dim V<dim W, então T não pode ser sobrejetora;

Passo 1

O enunciado diz: seja Tcolon Vto W uma transformação linear entre espaços vetoriais. Mostre que, se dim V<dim W, então T não pode ser sobrejetora.
Conteúdo: usamos o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo-Imagens) e a ideia de que a imagem de T é subespaço de W.

Passo 2

Pelo Teorema do Núcleo-Imagens temos
dim V ;=;dim(ker T);+;diml(ImTr)
Como dim(ker T)>=0, conclui-se que
diml(ImTr);<=;dim V

Passo 3

Para T ser sobrejetora é preciso que ImT= W. Nesse caso
diml(ImTr) =dim W
Juntando com o resultado do passo anterior, teríamos
dim W =diml(ImTr) <=dim V

Passo 4

A desigualdade dim W<=dim V contraria a hipótese dim V<dim W. Logo, não é possível ter ImT= W, isto é, T não pode ser sobrejetora.

Resposta

Não existe transformação linear sobrejetora Tcolon Vto W quando dim V<dim W.

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