Considere
uma transformação linear. Mostre que:
Se
, então
não pode ser sobrejetora;
Se
Passo 1
O enunciado diz: seja
uma transformação linear entre espaços vetoriais. Mostre que, se
, então
não pode ser sobrejetora.
Conteúdo: usamos o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo-Imagens) e a ideia de que a imagem de é subespaço de
.
Conteúdo: usamos o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo-Imagens) e a ideia de que a imagem de
Passo 2
Pelo Teorema do Núcleo-Imagens temos
Como
, conclui-se que
Passo 3
Para
ser sobrejetora é preciso que
. Nesse caso
Juntando com o resultado do passo anterior, teríamos
Passo 4
A desigualdade
contraria a hipótese
. Logo, não é possível ter
, isto é,
não pode ser sobrejetora.
Resposta
Não existe transformação linear sobrejetora
quando
.