Mostre que R^2 é isomorfo ao subespaço W de R^3, dado por
W=(x, y, z) in R^3: z=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os espaços vetoriais R^2 e
W = (x,y,z)inR^3: z=0
são isomorfos. Isso significa encontrar uma aplicação linear bijetora entre eles. Vamos usar a definição de isomorfismo de espaços vetoriais: uma aplicação linear que é injetora e sobrejetora.

Passo 2

Definimos a aplicação
Tcolon R^2 longrightarrow W, T(x,y) = (x,y,0)
Primeiro verificamos que T é bem-definida (ou seja, T(x,y) realmente pertence a W) e linear. De fato, para quaisquer (x1,y1) e (x2,y2) em R^2 e qualquer escalar lambdainR,
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) = T(x1+x2,,y1+y2) =(x1+x2,,y1+y2,,0)
e
T(x1,y1) + T(x2,y2) = (x1,y1,0)+(x2,y2,0) = (x1+x2,,y1+y2,,0),
portanto T(u+v)=T(u)+T(v). Além disso,
Tl(lambda,(x,y)r) = T(lambda x,lambda y) = (lambda x,lambda y,0) = lambda,(x,y,0) = lambda,T(x,y)
Logo T é linear.

Passo 3

Mostramos que T é injetora. Suponha
T(x,y) = T(x',y')
Isso dá
(x,y,0) = (x',y',0),
então x=x' e y=y'. Daí (x,y)=(x',y'), provando a injetividade.

Passo 4

Mostramos que T é sobrejetora em W. Dado qualquer vetor
(a,b,0)inW, basta escolher (x,y)=(a,b)inR^2. Então
T(a,b) = (a,b,0),
logo todo elemento de W tem um antecedente em R^2.

Passo 5

Como T é linear, injetora e sobrejetora, concluímos que T é um isomorfismo de espaços vetoriais. A inversa de T é
T^-1colon W longrightarrow R^2, T^-1(x,y,0) = (x,y),
que também é linear.

Resposta

A aplicação
Tcolon R^2toW, T(x,y)=(x,y,0)
é um isomorfismo entre R^2 e W.

Exercícios relacionados