Mostre que
é isomorfo ao subespaço
de
, dado por
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os espaços vetoriais
e
são isomorfos. Isso significa encontrar uma aplicação linear bijetora entre eles. Vamos usar a definição de isomorfismo de espaços vetoriais: uma aplicação linear que é injetora e sobrejetora.
Passo 2
Definimos a aplicação
Primeiro verificamos que
é bem-definida (ou seja,
realmente pertence a
) e linear. De fato, para quaisquer
e
em
e qualquer escalar
,
e
portanto
. Além disso,
Logo
é linear.
Passo 3
Mostramos que
é injetora. Suponha
Isso dá
então
e
. Daí
, provando a injetividade.
Passo 4
Mostramos que
é sobrejetora em
. Dado qualquer vetor
, basta escolher
. Então
logo todo elemento de
tem um antecedente em
.
Passo 5
Como
é linear, injetora e sobrejetora, concluímos que
é um isomorfismo de espaços vetoriais. A inversa de
é
que também é linear.
Resposta
A aplicação
é um isomorfismo entre
e
.