Encontre uma transformação linear T: R^3 R^3 tal que
ker T=[(1,1,0)]

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T:R^3toR^3
tal que
ker T
seja exatamente a reta gerada por (1,1,0).
Para resolver isso, usamos o conceito de núcleo (kernel) de uma aplicação linear e o Teorema da Dimensão (rank–nullity), que diz
dim(ker T)+dim(ImT)=3

Passo 2

Como ker T deve ser a reta t(1,1,0):tinR, temos
dim(ker T)=1.
Pelo Teorema da Dimensão, dim(ImT)=3-1=2.
Logo, devemos “anular” exatamente os vetores da forma (t,t,0) e enviar dois vetores independentes de complemento para formar a imagem de dimensão 2.

Passo 3

Escolhemos uma base conveniente de R^3 que separe o kernel e seu complemento:
u1=(1,1,0), u2=(1,-1,0), u3=(0,0,1)
Definimos T mandando
T(u1)=0, T(u2)=(1,0,0), T(u3)=(0,1,0)
Assim garantimos ker T=spanu1 e ImT=span(1,0,0),(0,1,0).

Passo 4

Vamos escrever T na base canônica. Se (x,y,z) é um vetor genérico, note que
(x,y,0)=tfracx+y2(1,1,0)+tfracx-y2(1,-1,0)
e o componente em z vem de u3. Logo,
T(x,y,z) =Tl(tfracx+y2u1+tfracx-y2u2+z,u3r) =tfracx+y2T(u1)+tfracx-y2T(u2)+z,T(u3) =l(tfracx-y2,,z,,0r)
Multiplicando por 2 (ainda é uma transformação linear com o mesmo kernel), obtemos a fórmula mais simples
T(x,y,z)=(x-y,;2z,;0)
Podemos renomear 2z só por z (bastaria trocar escala na segunda componente da imagem), e ficamos com a versão
T(x,y,z)=(x-y,;z,;0)

Resposta

Uma transformação possível é
T(x,y,z) = (,x - y,;z,;0,)
Em forma de matriz na base canônica:
T = 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ,
cujo núcleo é exatamente (t,t,0):tinR.

Exercícios relacionados