Problema 9 (ordem superior com forçante). Resolva a EDO não homogênea
y^{(4)}-5 y^{\prime \prime}+4 y=e^{2 t}
(a) Resolva primeiro a equação homogênea associada
y^{(4)}-5 y^{\prime \prime}+4 y=0
encontrando o polinômio característico e suas raízes. (b) Proponha uma solução particular do tipo y_{p}(t)=C e^{2 t} e determine C. (c) Escreva a solução geral y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t).
(d) Comente o comportamento de y(t) quando $t \rightarrow \infty.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial não homogênea
y^{(4)}-5y''+4y=e^{2t},
e pede as seguintes etapas:
(a) Resolver a equação homogênea associada
y^{(4)}-5y''+4y=0
encontrando o polinômio característico e suas raízes.
(b) Propor uma solução particular do tipo y_{p}(t)=C e^{2t} e determinar C.
(c) Escrever a solução geral y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t).
(d) Comentar o comportamento de y(t) quando t\rightarrow\infty.
Informações relevantes dadas no enunciado:
O lado direito (forçante) é e^{2t}.
A equação linear tem coeficientes constantes e ordem 4.
Foi sugerido tentar y_{p}(t)=C e^{2t} como tentativa inicial para a solução particular.
Passo 2
Vamos resolver a equação homogênea
y^{(4)}-5y''+4y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo na equação homogênea obtemos o polinômio característico
r^{4}-5r^{2}+4=0.
Para resolver esse polinômio, faça a substituição u=r^{2}. Assim obtemos
u^{2}-5u+4=0.
Esse é um quadrático; suas raízes são (fatorando)
u^{2}-5u+4=(u-1)(u-4)=0,
portanto
u=1\quad\text{ou}\quad u=4.
Voltando a r, temos
r^{2}=1\implies r=\pm 1,
r^{2}=4\implies r=\pm 2.
Logo as quatro raízes distintas do polinômio característico são
r=1,\;-1,\;2,\;-2.
Como são raízes reais simples e distintas, a solução geral da homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde A_{1},A_{2},A_{3},A_{4} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora vamos abordar a tentativa sugerida para a solução particular: y_{p}(t)=C e^{2t}. Antes de calcular C, é importante checar se essa tentativa é válida. Existe uma regra prática (método dos coeficientes determinados): se a função forçante for da forma e^{at} e a for raiz do polinômio característico de multiplicidade m, então devemos multiplicar a tentativa por t^{m}. Aqui a forçante é e^{2t} e verificamos no Passo 2 que r=2 é de fato uma raiz do característico (multiplicidade m=1). Por isso a tentativa simples y_{p}=C e^{2t} é inadequada: ao aplicarmos o operador linear à e^{2t}, ele anula e^{2t} (porque r=2 é raiz), logo obteríamos 0 no lado esquerdo, nunca igual a e^{2t} no lado direito.
Para demonstrar isso rapidamente, note que para y=e^{2t} temos
onde A_{1},A_{2},A_{3},A_{4} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).
Passo 6
Comente sobre o comportamento quando t\rightarrow\infty.
Observação das parcelas:
e^{-t} e e^{-2t} decaem para 0 quando t\to\infty.
e^{t} cresce, mas muito mais lentamente que e^{2t}.
A parcela particular \dfrac{1}{12}t e^{2t} cresce como t e^{2t}, que domina todas as exponenciais de taxa menor.
Como a parcela particular tem coeficiente positivo \tfrac{1}{12}, e seu comportamento é t e^{2t}, essa parcela faz com que, para qualquer valores finitos de A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}, o termo \tfrac{1}{12}t e^{2t} governe o crescimento para t\to\infty. Mesmo que se escolha A_{3} para tentar “cancelar” uma porção de e^{2t}, não é possível cancelar o termo em t e^{2t} usando apenas combinações de e^{2t}. Portanto, no geral
e assim y(t)\to +\infty exponencialmente (com fator t) quando t\rightarrow\infty.
Resposta
(a) Polinômio característico \;r^{4}-5r^{2}+4=0\; com raízes \;r=\pm 1,\;\pm 2.
(b) A tentativa y_{p}=C e^{2t} falha porque r=2 é raiz do característico; a tentativa correta é y_{p}=C t e^{2t} e C=\dfrac{1}{12}, logo y_{p}(t)=\dfrac{1}{12}t e^{2t}.
(c) Solução geral