Problema 10 (redução de ordem). Sabendo que y_{1}(t)=e^{t} é solução de
y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0
use o método de redução de ordem para encontrar a solução geral. Em seguida, imponha y(0)=1 e y^{\prime}(0)=0 para determinar a solução particular.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}-y^{\prime}=0
e informa que \,y_{1}(t)=e^{t}\, é uma solução. Pede-se duas coisas: (a) usar o método de redução de ordem para encontrar a solução geral da equação; (b) impor as condições iniciais \,y(0)=1 e \,y'(0)=0\, para obter a solução particular. Informações relevantes dadas: a equação é linear, homogênea e de segunda ordem; conhecemos uma solução particular \,y_{1}(t)=e^{t}.

Passo 2

Ideia do método de redução de ordem (explicação didática): quando conhecemos uma solução não nula \,y_{1}(t)\, de uma equação linear homogênea de segunda ordem, podemos procurar uma segunda solução independente na forma
y(t)=v(t)\,y_{1}(t),
onde \,v(t)\, é uma função desconhecida que vamos determinar. A razão é reduzir a ordem da equação: ao substituir y=v y_{1} a equação passa a envolver v e suas derivadas; com uma manipulação adequada obtém-se uma equação de ordem inferior para v (normalmente primeiro ordem para v'). Aqui y_{1}(t)=e^{t}, então vamos tomar
y(t)=v(t)\,e^{t},
onde \,v(t)\, é a função que precisamos achar.

Passo 3

Calcular derivadas usando a regra do produto (mostrando cada passo): para y=v e^{t},
y' = v' e^{t} + v e^{t},
porque a derivada de v e^{t} é v' e^{t} + v (e^{t}). Agora calcule y'':
y'' = (v' e^{t} + v e^{t})' = v'' e^{t} + v' e^{t} + v' e^{t} + v e^{t} = v'' e^{t} + 2v' e^{t} + v e^{t}.
Aqui usei novamente a regra do produto na derivada de v' e^{t} e de v e^{t}.

Passo 4

Substituir y, y' e y'' na equação original e simplificar: a equação é \,y''-y'=0. Substituindo as expressões obtidas,
v'' e^{t} + 2v' e^{t} + v e^{t} \;-\; \bigl(v' e^{t} + v e^{t}\bigr) = 0.
Agora simplifique somando termos semelhantes dentro da igualdade. Cancelam-se os termos v e^{t}, e fica
v'' e^{t} + 2v' e^{t} - v' e^{t} = 0,
ou seja
v'' e^{t} + v' e^{t} = 0.
Como e^{t}\neq 0 para todo t, podemos dividir por e^{t} e obter a equação reduzida
v'' + v' = 0.

Passo 5

Reduzir a ordem definindo w=v' (explicando variáveis): para transformar a equação de segunda ordem em uma de primeira ordem, defino
w(t)=v'(t).
Então w'(t)=v''(t). Substituindo em v''+v'=0 obtenho
w' + w = 0.
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem para w. Vou resolvê-la; ela é separável/linear. Escrevendo como separável:
\frac{dw}{dt} = -w.
Separe as variáveis e integre:
\frac{dw}{w} = -dt.
Integrando ambos os lados,
\ln|w| = -t + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Exponenciando,
w(t) = C_{2} e^{-t},
onde C_{2}= \pm e^{C_{1}} é uma constante arbitrária (posso chamar de C_{2}).

Passo 6

Voltar para v integrando w=v': temos v'(t)=w(t)=C_{2} e^{-t}. Integramos para obter v:
v(t) = \int C_{2} e^{-t}\,dt = -C_{2} e^{-t} + C_{3},
onde C_{3} é outra constante de integração.

Passo 7

Construir a solução y=v e^{t} e reorganizar constantes: substituindo v em y=v e^{t},
y(t)=\bigl(-C_{2} e^{-t} + C_{3}\bigr)e^{t} = -C_{2} + C_{3} e^{t}.
Agora renomeando constantes (para a forma padrão C_{1} e^{t} + C_{2}) seja A=C_{3} e B=-C_{2}. Assim a solução geral fica
y(t) = A e^{t} + B,
onde A e B são constantes arbitrárias. Observação didática: a segunda solução independente obtida é y_{2}(t)=1 (a constante), e a solução geral é combinação linear de e^{t} e 1.

Passo 8

Impor as condições iniciais e determinar A e B: a solução geral é y(t)=A e^{t} + B. Calcule y(0) e y'(t):
y(0)=A e^{0} + B = A + B,
y'(t)=A e^{t} \quad\Rightarrow\quad y'(0)=A e^{0}=A.
As condições são y(0)=1 e y'(0)=0. Da segunda condição obtemos
A = 0.
Substituindo na primeira:
0 + B = 1 \quad\Rightarrow\quad B = 1.
Portanto a solução particular que satisfaz as condições iniciais é y(t)=1.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}
y(t)=1

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