Problema 10 (redução de ordem). Sabendo que
é solução de
use o método de redução de ordem para encontrar a solução geral. Em seguida, imponha
e
para determinar a solução particular.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e informa que
é uma solução. Pede-se duas coisas: (a) usar o método de redução de ordem para encontrar a solução geral da equação; (b) impor as condições iniciais
e
para obter a solução particular. Informações relevantes dadas: a equação é linear, homogênea e de segunda ordem; conhecemos uma solução particular
.
Passo 2
Ideia do método de redução de ordem (explicação didática): quando conhecemos uma solução não nula
de uma equação linear homogênea de segunda ordem, podemos procurar uma segunda solução independente na forma
onde
é uma função desconhecida que vamos determinar. A razão é reduzir a ordem da equação: ao substituir
a equação passa a envolver
e suas derivadas; com uma manipulação adequada obtém-se uma equação de ordem inferior para
(normalmente primeiro ordem para
). Aqui
, então vamos tomar
onde
é a função que precisamos achar.
Passo 3
Calcular derivadas usando a regra do produto (mostrando cada passo): para
,
porque a derivada de
é
. Agora calcule
:
Aqui usei novamente a regra do produto na derivada de
e de
.
Passo 4
Substituir
,
e
na equação original e simplificar: a equação é
. Substituindo as expressões obtidas,
Agora simplifique somando termos semelhantes dentro da igualdade. Cancelam-se os termos
, e fica
ou seja
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação reduzida
Passo 5
Reduzir a ordem definindo
(explicando variáveis): para transformar a equação de segunda ordem em uma de primeira ordem, defino
Então
. Substituindo em
obtenho
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem para
. Vou resolvê-la; ela é separável/linear. Escrevendo como separável:
Separe as variáveis e integre:
Integrando ambos os lados,
onde
é constante de integração. Exponenciando,
onde
é uma constante arbitrária (posso chamar de
).
Passo 6
Voltar para
integrando
: temos
. Integramos para obter
:
onde
é outra constante de integração.
Passo 7
Construir a solução
e reorganizar constantes: substituindo
em
,
Agora renomeando constantes (para a forma padrão
) seja
e
. Assim a solução geral fica
onde
e
são constantes arbitrárias. Observação didática: a segunda solução independente obtida é
(a constante), e a solução geral é combinação linear de
e
.
Passo 8
Impor as condições iniciais e determinar
e
: a solução geral é
. Calcule
e
:
As condições são
e
. Da segunda condição obtemos
Substituindo na primeira:
Portanto a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
.