Considere t a variável independente e y=y(t). Quando for pedido retrato de fase, escreva x_{1}=y, x_{2}=y^{\prime} e analise o plano \left(x_{1}, x_{2}\right). Indique sempre que possível o tipo de equilíbrio (centro, foco estável, sela, etc.) e o comportamento quando t \rightarrow \infty.
Problema 3 (foco instável / espiral instável). Considere
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0 .
(a) Escreva o sistema correspondente. (b) Mostre que os autovalores têm parte real positiva. (c) Classifique o equilíbrio e descreva o retrato de fase (espirais que saem da origem).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y'' - 2y' + 5y = 0,
onde t é a variável independente e y=y(t). Pede-se:
(a) escrever o sistema de primeira ordem correspondente usando x_{1}=y e x_{2}=y';
(b) mostrar que os autovalores (valores próprios) do sistema têm parte real positiva;
(c) classificar o ponto de equilíbrio (origem) e descrever o retrato de fase (comportamento das trajetórias quando t\to\infty).
Informações relevantes: equação linear homogênea com coeficientes constantes; vamos transformar em sistema 2×2 e estudar autovalores da matriz associada.

Passo 2

Transformação para sistema de primeira ordem (passo mecânico). Definimos
x_{1}=y,\qquad x_{2}=y'.
Então derivando cada uma:
x_{1}'=y'=x_{2},
x_{2}'=y''.
Como a equação original dá y''=2y'-5y, substituímos y e y' por x_{1} e x_{2}:
x_{2}'=2x_{2}-5x_{1}.
Logo o sistema em forma canônica é
\begin{cases} x_{1}'=x_{2},\\[4pt] x_{2}'=-5x_{1}+2x_{2}. \end{cases}]

Passo 3

Escrevendo o sistema em forma matricial. Se definirmos X=(x_{1},x_{2})^{T}, o sistema fica
X' = A X,
onde a matriz A é
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -5 & 2\end{pmatrix}.
Aqui cada entrada tem interpretação: a primeira linha diz x_{1}'=0\cdot x_{1}+1\cdot x_{2} e a segunda linha diz x_{2}'=-5\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}.]

Passo 4

Cálculo dos autovalores (passo teórico e prático). Para uma matriz 2\times2 os autovalores \lambda são raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Calculamos:
\det\!\big(A-\lambda I\big) =\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt]-5 & 2-\lambda\end{pmatrix} =(-\lambda)(2-\lambda)-1\cdot(-5).
Expandindo,
(-\lambda)(2-\lambda)+5=\lambda^{2}-2\lambda+5.
Logo o polinômio característico é
\lambda^{2}-2\lambda+5=0.
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
\lambda=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2} =\frac{2\pm\sqrt{4-20}}{2} =\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2} =\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i.]

Passo 5

Interpretação dos autovalores (parte real positiva). Encontramos
\lambda_{1}=1+2i,\qquad \lambda_{2}=1-2i.
Cada autovalor complexo escrito como \alpha\pm i\beta tem parte real \alpha e parte imaginária \pm\beta. Aqui \alpha=1>0. Portanto ambos os autovalores têm parte real positiva. Conceito importante: se as partes reais dos autovalores são positivas, soluções não nulas crescem exponencialmente em módulo quando t\to\infty.

Passo 6

Forma geral da solução e comportamento temporal. Para a equação de segunda ordem com raízes 1\pm 2i sabemos (ou podemos derivar) que a solução geral tem a forma real
y(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big),
onde \alpha é a parte real e \beta é a parte imaginária positiva. Substituindo \alpha=1 e \beta=2 obtemos
y(t)=e^{t}\big(C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)\big),
com C_{1},C_{2} constantes determinadas pelas condições iniciais. Observação didática: o fator e^{t} causa crescimento exponencial do módulo da solução; os cossenos e senos imprimem uma oscilação com frequência angular 2.

Passo 7

Construindo x_{2}=y' para ver o vetor de estado. Derivando y(t):
y'(t)=e^{t}\big((C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t))+\big(-2C_{1}\sin(2t)+2C_{2}\cos(2t)\big)\big).
Podemos agrupar, mas o ponto principal é que tanto x_{1}(t)=y(t) quanto x_{2}(t)=y'(t) têm um fator e^{t} multiplicando combinações senoidais. Isso significa que a trajetória no plano (x_{1},x_{2}) gira (pela parte senoidal) e se afasta do ponto (0,0) exponencialmente (pelo e^{t}).

Passo 8

Classificação do equilíbrio (definição e aplicação). Definições rápidas e intuitivas:
  • Se os autovalores são complexos com parte real não nula, o equilíbrio é um foco (ou espiral).
  • Se a parte real é positiva, o foco é instável (chamado também de fonte espiral ou espiral instável): as trajetórias espiralam saindo do ponto de equilíbrio quando t\to\infty.
    Aplicando ao caso: como \operatorname{Re}(\lambda_{1,2})=1>0, o equilíbrio na origem é um foco instável (espiral instável, também dito “fonte espiral”).

Passo 9

Descrição detalhada do retrato de fase e orientação da rotação. Com base nas soluções oscilatórias multiplicadas por e^{t}, as trajetórias no plano (x_{1},x_{2}) são espirais que se afastam do ponto (0,0) à medida que t\to\infty. Para saber o sentido (horário ou anti-horário) avaliamos o campo vetorial em um ponto exemplo: em (x_{1},x_{2})=(1,0) temos
X'=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-5 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-5\end{pmatrix},
ou seja, o vetor aponta para baixo. Começando na metade positiva do eixo x_{1} (à direita da origem) a trajetória inicial vai para baixo, o que corresponde a uma rotação no sentido horário. Portanto as espirais saem da origem girando no sentido horário. Além disso, como a parte real é positiva, os módulos das trajetórias crescem como e^{t}, então \|X(t)\|\to\infty quando t\to\infty. Inversamente, quando t\to -\infty as trajetórias se aproximam da origem exponencialmente (o sistema é rechaçador no futuro).]

Passo 10

Resumo intuitivo e incentivo. Em linguagem curta: o sistema equivalente é linear, tem autovalores 1\pm2i com parte real positiva, logo a origem é um foco/espiral instável (fonte espiral). As trajetórias espiralam para fora conforme t\to\infty, girando no sentido horário e crescendo no módulo como e^{t}. Vai dar certo — entenda: identificar a matriz, achar autovalores e interpretar a parte real é o caminho padrão para classificar equilíbrios de sistemas lineares 2×2.

Resposta

(a) \begin{cases}x_{1}'=x_{2},\\[4pt]x_{2}'=-5x_{1}+2x_{2}.\end{cases}
(b) \lambda_{1,2}=1\pm 2i (logo \operatorname{Re}\lambda_{1,2}=1>0).
(c) Equilíbrio na origem: foco (espiral) instável — retrato de fase com espirais que saem da origem (crescimento como e^{t}), girando no sentido horário.]

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