Considere
a variável independente e
. Quando for pedido retrato de fase, escreva
e analise o plano
. Indique sempre que possível o tipo de equilíbrio (centro, foco estável, sela, etc.) e o comportamento quando
.
Problema 3 (foco instável / espiral instável). Considere
(a) Escreva o sistema correspondente. (b) Mostre que os autovalores têm parte real positiva. (c) Classifique o equilíbrio e descreva o retrato de fase (espirais que saem da origem).
Problema 3 (foco instável / espiral instável). Considere
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
onde
é a variável independente e
. Pede-se:
(a) escrever o sistema de primeira ordem correspondente usando e
;
(b) mostrar que os autovalores (valores próprios) do sistema têm parte real positiva;
(c) classificar o ponto de equilíbrio (origem) e descrever o retrato de fase (comportamento das trajetórias quando ).
Informações relevantes: equação linear homogênea com coeficientes constantes; vamos transformar em sistema 2×2 e estudar autovalores da matriz associada.
(a) escrever o sistema de primeira ordem correspondente usando
(b) mostrar que os autovalores (valores próprios) do sistema têm parte real positiva;
(c) classificar o ponto de equilíbrio (origem) e descrever o retrato de fase (comportamento das trajetórias quando
Informações relevantes: equação linear homogênea com coeficientes constantes; vamos transformar em sistema 2×2 e estudar autovalores da matriz associada.
Passo 2
Transformação para sistema de primeira ordem (passo mecânico). Definimos
Então derivando cada uma:
Como a equação original dá
, substituímos
e
por
e
:
Logo o sistema em forma canônica é
Passo 3
Escrevendo o sistema em forma matricial. Se definirmos
, o sistema fica
onde a matriz
é
Aqui cada entrada tem interpretação: a primeira linha diz
e a segunda linha diz
.]
Passo 4
Cálculo dos autovalores (passo teórico e prático). Para uma matriz
os autovalores
são raízes do polinômio característico
. Calculamos:
Expandindo,
Logo o polinômio característico é
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Interpretação dos autovalores (parte real positiva). Encontramos
Cada autovalor complexo escrito como
tem parte real
e parte imaginária
. Aqui
. Portanto ambos os autovalores têm parte real positiva. Conceito importante: se as partes reais dos autovalores são positivas, soluções não nulas crescem exponencialmente em módulo quando
.
Passo 6
Forma geral da solução e comportamento temporal. Para a equação de segunda ordem com raízes
sabemos (ou podemos derivar) que a solução geral tem a forma real
onde
é a parte real e
é a parte imaginária positiva. Substituindo
e
obtemos
com
constantes determinadas pelas condições iniciais. Observação didática: o fator
causa crescimento exponencial do módulo da solução; os cossenos e senos imprimem uma oscilação com frequência angular
.
Passo 7
Construindo
para ver o vetor de estado. Derivando
:
Podemos agrupar, mas o ponto principal é que tanto
quanto
têm um fator
multiplicando combinações senoidais. Isso significa que a trajetória no plano
gira (pela parte senoidal) e se afasta do ponto
exponencialmente (pelo
).
Passo 8
Classificação do equilíbrio (definição e aplicação). Definições rápidas e intuitivas:
- Se os autovalores são complexos com parte real não nula, o equilíbrio é um foco (ou espiral).
- Se a parte real é positiva, o foco é instável (chamado também de fonte espiral ou espiral instável): as trajetórias espiralam saindo do ponto de equilíbrio quando
.
Aplicando ao caso: como, o equilíbrio na origem é um foco instável (espiral instável, também dito “fonte espiral”).
Passo 9
Descrição detalhada do retrato de fase e orientação da rotação. Com base nas soluções oscilatórias multiplicadas por
, as trajetórias no plano
são espirais que se afastam do ponto
à medida que
. Para saber o sentido (horário ou anti-horário) avaliamos o campo vetorial em um ponto exemplo: em
temos
ou seja, o vetor aponta para baixo. Começando na metade positiva do eixo
(à direita da origem) a trajetória inicial vai para baixo, o que corresponde a uma rotação no sentido horário. Portanto as espirais saem da origem girando no sentido horário. Além disso, como a parte real é positiva, os módulos das trajetórias crescem como
, então
quando
. Inversamente, quando
as trajetórias se aproximam da origem exponencialmente (o sistema é rechaçador no futuro).]
Passo 10
Resumo intuitivo e incentivo. Em linguagem curta: o sistema equivalente é linear, tem autovalores
com parte real positiva, logo a origem é um foco/espiral instável (fonte espiral). As trajetórias espiralam para fora conforme
, girando no sentido horário e crescendo no módulo como
. Vai dar certo — entenda: identificar a matriz, achar autovalores e interpretar a parte real é o caminho padrão para classificar equilíbrios de sistemas lineares 2×2.
Resposta
(a)
(b)
(logo
).
(c) Equilíbrio na origem: foco (espiral) instável — retrato de fase com espirais que saem da origem (crescimento como ), girando no sentido horário.]
(c) Equilíbrio na origem: foco (espiral) instável — retrato de fase com espirais que saem da origem (crescimento como