Considere
a variável independente e
. Quando for pedido retrato de fase, escreva
e analise o plano
. Indique sempre que possível o tipo de equilíbrio (centro, foco estável, sela, etc.) e o comportamento quando
.
Problema 6 (sela). Considere
(a) Escreva como sistema de (
ordem. (b) Calcule os autovalores e autovetores. (c) Mostre que a origem é uma sela e esboce o retrato de fase indicando os ramos estável e instável.
Problema 6 (sela). Considere
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
onde
é a variável independente e
. As tarefas pedidas são:
(a) escrever a equação como um sistema de primeira ordem usando e
e analisar o plano
;
(b) calcular os autovalores (autovalores = valores próprios) e autovetores (vetores próprios) do sistema linear obtido;
(c) mostrar que a origem é uma sela (saddle), esboçar o retrato de fase indicando os ramos estável e instável e descrever o comportamento quando .
(a) escrever a equação como um sistema de primeira ordem usando
(b) calcular os autovalores (autovalores = valores próprios) e autovetores (vetores próprios) do sistema linear obtido;
(c) mostrar que a origem é uma sela (saddle), esboçar o retrato de fase indicando os ramos estável e instável e descrever o comportamento quando
As informações relevantes fornecidas são apenas a própria equação
e a instrução de usar
e analisar no plano
.
Passo 2
Vamos transformar a equação de segunda ordem num sistema de primeira ordem. Definimos
Explicando: [x_{1}) é a função original e
é a sua derivada. A razão de fazer isso é que sistemas de primeira ordem têm representação matricial
, o que facilita usar autovalores e autovetores.
A partir das definições temos:
Como a equação original diz
, obtemos
Portanto o sistema é
Em forma matricial (x’ = A x] com
]
Passo 3
Agora vamos achar os autovalores
de
. Lembrando a definição:
é autovalor se existe vetor não nulo
tal que
. Para encontrar
resolvemos o polinômio característico
onde
é a matriz identidade
. Vou calcular o determinante passo a passo.
O operador
é
O determinante é
Igualando a zero:
Passo 4
Resolvendo
obtemos
ou seja, os autovalores são
e
.
Comentário intuitivo: um autovalor positivo corresponde a crescimento exponencial na direção do autovetor associado; um autovalor negativo corresponde a decaimento exponencial na direção do autovetor associado.
Passo 5
Agora calculamos os autovetores. Começamos por
. Precisamos resolver
ou seja
Das linhas (são equivalentes) obtemos a equação
, portanto
. Um autovetor conveniente (não nulo) é
Isto significa que a reta
no plano é invariante pelo fluxo e é a direção do autovalor
.]
Passo 6
Para
resolvemos
ou seja
As equações dão
, então
. Um autovetor conveniente é
Isso significa que a reta
é invariante e é a direção do autovalor
.]
Passo 7
Vamos escrever a solução geral do sistema usando a decomposição em modos próprios. Se
está associado a
e
a
, a solução geral é combinação linear dos modos exponenciais:
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Desdobrando em componentes:
Repare que isto coincide com a solução geral conhecida de
:
.]
Passo 8
Classificação de estabilidade e interpretação física do que isso significa.
- O autovalor
é positivo: direções múltiplas de crescem como quando . Essa é a direção instável (ramo instável). - O autovalor
é negativo: direções múltiplas de decaem como quando . Essa é a direção estável (ramo estável).
Quando um sistema linear tem autovalores reais distintos com sinais opostos, a origem é uma sela (saddle). Em termos de comportamento temporal:
- Se
a solução tem um termo que domina para , portanto : a trajetória sai para infinito seguindo aproximadamente a direção . - Se
e , então quando : a trajetória tende para a origem seguindo a reta . - Se ambos
e são não nulos, para o termo crescente domina e a trajetória vai para infinito aproximando-se da direção ; para o termo decrescente domina (porque cresce quando ) e a trajetória vai para infinito aproximando-se da direção . Isso é tipicamente o comportamento de uma sela: as trajetórias entram pela reta estável e saem pela reta instável.
Passo 9
Para entender o formato das órbitas no plano
podemos eliminar
e obter uma curva invariante. Defina
Então
Multiplicando
(constante), obtemos
Portanto cada trajetória (cada par de constantes
) satisfaz a equação de hipérbole
Isto mostra que as curvas de fase são hipérbolas com assíntotas exatamente as retas
e
(as direções dos autovetores). As hipérbolas que correspondem a constantes positivas abrem no sentido do eixo
e as de constantes negativas abrem no sentido do eixo
, mas o importante é que elas têm as duas retas como assíntotas.
Assim o retrato de fase é formado por:
- A origem (equilíbrio) (ponto);
- A reta
é o ramo estável (soluções ao longo dela tendem para a origem quando ); - A reta
é o ramo instável (soluções ao longo dela afastam-se do origem quando ); - Todas as outras soluções são hipérbolas que aproximam-se das assíntotas
quando .
Passo 10
Exemplos concretos para fixar a intuição:
- Se
então : a trajetória parte da origem (no passado) e cresce ao longo da reta (instável). - Se
então : a trajetória vem do infinito no passado e tende para a origem seguindo (estável). - Se
então , e a curva no plano é a hipérbole . Para a curva aproxima-se de .
Um pouco de incentivo: essas contas mostram claramente a geometria do sistema linear — não precisa de truques, é só decompor nas direções próprias e observar os expoentes. Vai dar tudo certo na prova!
Resposta
(a)
\n
(b) Autovalores
. Autovetor para
:
. Autovetor para
:
\n
(c) A origem é uma sela (saddle). Ramo instável: reta (associada a
); ramo estável: reta
(associada a
). Trajetórias gerais são hipérbolas
. Para
se
a solução diverge exponencialmente seguindo
; se
a solução decai para a origem como
.]
(c) A origem é uma sela (saddle). Ramo instável: reta