Considere t a variável independente e y=y(t). Quando for pedido retrato de fase, escreva x_{1}=y, x_{2}=y^{\prime} e analise o plano \left(x_{1}, x_{2}\right). Indique sempre que possível o tipo de equilíbrio (centro, foco estável, sela, etc.) e o comportamento quando t \rightarrow \infty.
Problema 6 (sela). Considere
y^{\prime \prime}-y=0 .
(a) Escreva como sistema de ( 1^{\text {a }}) ordem. (b) Calcule os autovalores e autovetores. (c) Mostre que a origem é uma sela e esboce o retrato de fase indicando os ramos estável e instável.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y''-y=0,
onde t é a variável independente e y=y(t). As tarefas pedidas são:
(a) escrever a equação como um sistema de primeira ordem usando x_{1}=y e x_{2}=y' e analisar o plano (x_{1},x_{2});
(b) calcular os autovalores (autovalores = valores próprios) e autovetores (vetores próprios) do sistema linear obtido;
(c) mostrar que a origem é uma sela (saddle), esboçar o retrato de fase indicando os ramos estável e instável e descrever o comportamento quando t\to\infty.
As informações relevantes fornecidas são apenas a própria equação \,y''-y=0 e a instrução de usar x_{1}=y,\;x_{2}=y' e analisar no plano (x_{1},x_{2}).

Passo 2

Vamos transformar a equação de segunda ordem num sistema de primeira ordem. Definimos
x_{1}=y,\qquad x_{2}=y'.
Explicando: [x_{1}) é a função original e x_{2} é a sua derivada. A razão de fazer isso é que sistemas de primeira ordem têm representação matricial x'=Ax, o que facilita usar autovalores e autovetores.
A partir das definições temos:
x_{1}'=y'=x_{2},
x_{2}'=y''.
Como a equação original diz y''=y, obtemos
x_{2}'=x_{1}.
Portanto o sistema é
\begin{cases} x_{1}'=x_{2},\\[4pt] x_{2}'=x_{1}. \end{cases}
Em forma matricial (x’ = A x] com
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] x_{2}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora vamos achar os autovalores \lambda de A. Lembrando a definição: \lambda é autovalor se existe vetor não nulo v tal que A v = \lambda v. Para encontrar \lambda resolvemos o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Vou calcular o determinante passo a passo.
O operador A-\lambda I é
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(-\lambda)(-\lambda)-1\cdot 1=\lambda^{2}-1.
Igualando a zero:
\lambda^{2}-1=0.]

Passo 4

Resolvendo \lambda^{2}-1=0 obtemos
\lambda=\pm 1,
ou seja, os autovalores são \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=-1.
Comentário intuitivo: um autovalor positivo corresponde a crescimento exponencial na direção do autovetor associado; um autovalor negativo corresponde a decaimento exponencial na direção do autovetor associado.

Passo 5

Agora calculamos os autovetores. Começamos por \lambda_{1}=1. Precisamos resolver
(A-I)v=0,
ou seja
\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt] v_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Das linhas (são equivalentes) obtemos a equação -v_{1}+v_{2}=0, portanto v_{2}=v_{1}. Um autovetor conveniente (não nulo) é
v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Isto significa que a reta x_{2}=x_{1} no plano é invariante pelo fluxo e é a direção do autovalor \lambda=1.]

Passo 6

Para \lambda_{2}=-1 resolvemos
(A+I)v=0,
ou seja
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt] v_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
As equações dão v_{1}+v_{2}=0, então v_{2}=-v_{1}. Um autovetor conveniente é
v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.
Isso significa que a reta x_{2}=-x_{1} é invariante e é a direção do autovalor \lambda=-1.]

Passo 7

Vamos escrever a solução geral do sistema usando a decomposição em modos próprios. Se v^{(1)} está associado a \lambda_{1}=1 e v^{(2)} a \lambda_{2}=-1, a solução geral é combinação linear dos modos exponenciais:
x(t)=C_{1}e^{\lambda_{1} t}v^{(1)}+C_{2}e^{\lambda_{2} t}v^{(2)} = C_{1}e^{t}\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}+C_{2}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix},
onde C_{1},C_{2} são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Desdobrando em componentes:
x_{1}(t)=y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t},
x_{2}(t)=y'(t)=C_{1}e^{t}-C_{2}e^{-t}.
Repare que isto coincide com a solução geral conhecida de \,y''-y=0: y=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}.]

Passo 8

Classificação de estabilidade e interpretação física do que isso significa.
  • O autovalor \lambda_{1}=1 é positivo: direções múltiplas de v^{(1)}=(1,1) crescem como e^{t} quando t\to\infty. Essa é a direção instável (ramo instável).
  • O autovalor \lambda_{2}=-1 é negativo: direções múltiplas de v^{(2)}=(1,-1) decaem como e^{-t} quando t\to\infty. Essa é a direção estável (ramo estável).
Quando um sistema linear tem autovalores reais distintos com sinais opostos, a origem é uma sela (saddle). Em termos de comportamento temporal:
  • Se C_{1}\neq 0 a solução tem um termo C_{1}e^{t}v^{(1)} que domina para t\to\infty, portanto \|x(t)\|\to\infty: a trajetória sai para infinito seguindo aproximadamente a direção v^{(1)}.
  • Se C_{1}=0 e C_{2}\neq 0, então x(t)=C_{2}e^{-t}v^{(2)}\to 0 quando t\to\infty: a trajetória tende para a origem seguindo a reta x_{2}=-x_{1}.
  • Se ambos C_{1} e C_{2} são não nulos, para t\to\infty o termo crescente domina e a trajetória vai para infinito aproximando-se da direção v^{(1)}; para t\to -\infty o termo decrescente e^{-t} domina (porque e^{-t} cresce quando t\to -\infty) e a trajetória vai para infinito aproximando-se da direção v^{(2)}. Isso é tipicamente o comportamento de uma sela: as trajetórias entram pela reta estável e saem pela reta instável.

Passo 9

Para entender o formato das órbitas no plano (x_{1},x_{2}) podemos eliminar t e obter uma curva invariante. Defina
\alpha(t)=C_{1}e^{t},\qquad \beta(t)=C_{2}e^{-t}.
Então
x_{1}=\alpha+\beta,\qquad x_{2}=\alpha-\beta.
Multiplicando \alpha\beta=C_{1}C_{2} (constante), obtemos
\alpha\beta=\frac{(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})}{4}=\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{4}=C_{1}C_{2}.
Portanto cada trajetória (cada par de constantes C_{1}C_{2}) satisfaz a equação de hipérbole
x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=\text{constante}.
Isto mostra que as curvas de fase são hipérbolas com assíntotas exatamente as retas x_{2}=x_{1} e x_{2}=-x_{1} (as direções dos autovetores). As hipérbolas que correspondem a constantes positivas abrem no sentido do eixo x_{1} e as de constantes negativas abrem no sentido do eixo x_{2}, mas o importante é que elas têm as duas retas como assíntotas.
Assim o retrato de fase é formado por:
  • A origem (equilíbrio) (ponto);
  • A reta x_{2}=-x_{1} é o ramo estável (soluções ao longo dela tendem para a origem quando t\to\infty);
  • A reta x_{2}=x_{1} é o ramo instável (soluções ao longo dela afastam-se do origem quando t\to\infty);
  • Todas as outras soluções são hipérbolas que aproximam-se das assíntotas x_{2}=\pm x_{1} quando |x|\to\infty.

Passo 10

Exemplos concretos para fixar a intuição:
  • Se C_{1}=1,\;C_{2}=0 então x(t)=e^{t}(1,1)^{T}: a trajetória parte da origem (no passado) e cresce ao longo da reta x_{2}=x_{1} (instável).
  • Se C_{1}=0,\;C_{2}=1 então x(t)=e^{-t}(1,-1)^{T}: a trajetória vem do infinito no passado e tende para a origem seguindo x_{2}=-x_{1} (estável).
  • Se C_{1}=C_{2}=1 então x_{1}=e^{t}+e^{-t}=2\operatorname{cosh} t,\;x_{2}=e^{t}-e^{-t}=2\operatorname{sinh} t, e a curva no plano é a hipérbole x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=4. Para t\to\infty a curva aproxima-se de x_{2}=x_{1}.
Um pouco de incentivo: essas contas mostram claramente a geometria do sistema linear — não precisa de truques, é só decompor nas direções próprias e observar os expoentes. Vai dar tudo certo na prova!

Resposta

(a) \displaystyle \begin{cases}x_{1}'=x_{2},\\[4pt] x_{2}'=x_{1}.\end{cases} \n
(b) Autovalores \displaystyle \lambda=\pm 1. Autovetor para \lambda=1: \displaystyle v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}. Autovetor para \lambda=-1: \displaystyle v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}. \n
(c) A origem é uma sela (saddle). Ramo instável: reta \displaystyle x_{2}=x_{1} (associada a \lambda=1); ramo estável: reta \displaystyle x_{2}=-x_{1} (associada a \lambda=-1). Trajetórias gerais são hipérbolas \displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=\text{const}. Para t\to\infty se C_{1}\neq0 a solução diverge exponencialmente seguindo \,v^{(1)}; se C_{1}=0 a solução decai para a origem como e^{-t}v^{(2)}.]

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