Considere t a variável independente e y=y(t). Quando for pedido retrato de fase, escreva x_{1}=y, x_{2}=y^{\prime} e analise o plano \left(x_{1}, x_{2}\right). Indique sempre que possível o tipo de equilíbrio (centro, foco estável, sela, etc.) e o comportamento quando t \rightarrow \infty.
Problema 5 (nó instável). Estude
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=0 .
(a) Obtenha a forma de sistema. (b) Mostre que as duas raízes são reais e positivas.
(c) Conclua que a origem é um nó instável e descreva o retrato de fase.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
y''-5y'+6y=0,
com variável independente t e função y=y(t). As perguntas pedem três coisas:
(a) obter a forma de sistema de primeira ordem (usar x_{1}=y e x_{2}=y' e analisar o plano (x_{1},x_{2}));
(b) mostrar que as duas raízes (dos polinômios característicos) são reais e positivas;
(c) concluir que a origem é um nó instável e descrever o retrato de fase, incluindo o comportamento quando t\to\infty.
Informações relevantes fornecidas: a equação linear homogênea com coeficientes constantes e de segunda ordem, e a instrução explícita para usar x_{1}=y,\;x_{2}=y' para construir o sistema.

Passo 2

Transformar a equação de segunda ordem em um sistema de primeira ordem é uma técnica padrão: definimos as variáveis de estado como x_{1}=y e x_{2}=y'. Assim,
x_{1}'=y'=x_{2},
x_{2}'=y''.
Substituindo y'' a partir da equação dada \,y''=5y'-6y, obtemos
x_{2}'=5x_{2}-6x_{1}.
Escrevendo o sistema em forma matricial, temos
\begin{pmatrix}x_{1}'\\[4pt]x_{2}'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-6 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}.
Aqui a matriz do sistema é \,A=\begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -6 & 5\end{pmatrix}. Explicando por que fazemos isso: sistemas de primeira ordem permitem analisar autovalores/autovetores da matriz A, que determinam o comportamento das soluções e o tipo de equilíbrio na origem.]

Passo 3

Para encontrar as “raízes” pedidas (que são os autovalores do sistema ou as raízes da equação característica da ODE), fazemos o polinômio auxiliar da equação original. A equação característica é
r^{2}-5r+6=0.
Para resolver, calculamos o discriminante \Delta:
\Delta=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1.
Como \Delta>0, as raízes são reais e distintas. As raízes são
r=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2}.
Portanto
r_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad r_{2}=\frac{5+1}{2}=3.
Ambas as raízes são reais e positivas, como pedido.

Passo 4

Agora explico o que essas raízes significam para o sistema e encontro autovetores. Para cada autovalor r procuramos vetores v\neq 0 tais que Av=r v. Uma forma rápida é notar que, para a conversão padrão de segunda ordem para sistema, o autovetor associado a um autovalor r tem a forma v=(1,r)^{T} (pois x_{1}=y e x_{2}=y'=ry para uma solução exponencial). Verifiquemos:
  • Para r_{1}=2, um autovetor é
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
  • Para r_{2}=3, um autovetor é
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
A solução geral da ODE é (usando as raízes)
y(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{3t},
onde C_{1},C_{2} são constantes determinadas por condições iniciais. Em termos do sistema, a solução em (x_{1},x_{2}) é
\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\[4pt]x_{2}(t)\end{pmatrix} = C_{1}e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} + C_{2}e^{3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Classificação da origem e descrição do retrato de fase. Critério geral (explicando a ideia): para um sistema linear x'=Ax em \mathbb{R}^{2}, se A tem duas autovalores reais e iguais de mesmo sinal ou duas autovalores reais e distintas de mesmo sinal, o equilíbrio na origem é um nó; se os autovalores são positivos, é um nó instável (repulsor), se negativos, é um nó estável (atrator). Aqui temos dois autovalores reais distintos 2 e 3, ambos positivos, logo a origem é um nó instável (também chamado de nodo ou fonte).
Descrevendo o retrato de fase explicitamente: cada solução é combinação linear das direções v_{1}=(1,2) e v_{2}=(1,3) com fatores exponenciais e^{2t} e e^{3t}. Trajetórias especiais: as curvas que começam exatamente sobre a reta gerada por v_{1} (isto é, com C_{2}=0) seguem essa reta e crescem como e^{2t}; as que começam sobre a reta gerada por v_{2} (isto é, C_{1}=0) seguem essa reta e crescem como e^{3t}. Para uma condição inicial geral com C_{2}\neq 0, ao dividir a expressão da solução por e^{3t} obtemos
e^{-3t}\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\[4pt]x_{2}(t)\end{pmatrix} = C_{1}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} + C_{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Quando t\to\infty, o termo com e^{-t} tende a zero, portanto a solução cresce na direção do autovetor associado ao maior autovalor r_{2}=3. Em palavras simples: todas as trajetórias (exceto as exatamente sobre a reta de v_{1}) saem do ponto de origem e, à medida que t aumenta, ficam cada vez mais alinhadas com a reta gerada por v_{2}=(1,3), apontando para fora.
Comportamento quando t\to\infty: como ambos os expoentes 2 e 3 são positivos, todas as soluções não-triviais divergem para infinito em norma. Mais precisamente, se C_{2}\neq 0 então
\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\[4pt]x_{2}(t)\end{pmatrix}\sim C_{2}e^{3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}\quad\text{quando }t\to\infty,
isto é, o termo e^{3t} domina e a trajetória cresce exponencialmente na direção de (1,3). Se C_{2}=0 mas C_{1}\neq 0, a solução cresce como e^{2t} na direção (1,2). A origem é repulsora (nó instável), não há oscilações (nenhum termo complexo), e as setas do campo de fases apontam para fora, aproximando-se assintoticamente às retas dos autovetores quando t\to\pm\infty conforme o sinal dos expoentes (para t\to-\infty todas as soluções não-triviais tendem ao origin, pois e^{2t},e^{3t}\to0).]

Resposta

(a) \displaystyle \begin{pmatrix}x_{1}'\\[4pt]x_{2}'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-6 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}, com x_{1}=y,\;x_{2}=y'.
(b) As raízes da equação característica r^{2}-5r+6=0 são r_{1}=2 e r_{2}=3, reais e positivas.
(c) A origem é um nó instável (nó repulsor). O retrato de fase tem duas direções eigneais (1,2) e (1,3); todas as trajetórias saem da origem, e para t\to\infty as soluções não-triviais divergem exponencialmente (o termo e^{3t} domina, portanto as trajetórias genéricas alinham-se com a reta gerada por (1,3)).]

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