Considere
a variável independente e
. Quando for pedido retrato de fase, escreva
e analise o plano
. Indique sempre que possível o tipo de equilíbrio (centro, foco estável, sela, etc.) e o comportamento quando
.
Problema 4 (nó estável). Analise
(a) Encontre a equação característica e suas raízes. (b) Mostre que as duas raízes são reais e negativas. (c) Conclua que a origem é um nó estável e esboce o retrato de fase indicando as direções principais.
Problema 4 (nó estável). Analise
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com variável independente
e pede: (a) encontrar a equação característica e suas raízes; (b) mostrar que as duas raízes são reais e negativas; (c) concluir que a origem é um nó estável e esboçar o retrato de fase indicando as direções principais.
Quando for pedido o retrato de fase devemos usar as variáveis de fase e analisar o plano
. Não começar a resolver aqui — apenas enumerei o que foi dado e o que se pede.
Quando for pedido o retrato de fase devemos usar as variáveis de fase
Passo 2
Transformar a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem em sua equação característica: para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo
. Substituindo
em
obtém-se a equação algébrica (a chamada equação característica) para
. Vou fazer a substituição passo a passo:
Substituindo na EDO:
Como
para todo
, podemos dividir por
e ficar com a equação característica:
Passo 3
Resolver a equação quadrática
. Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
as raízes são
onde
neste caso. Calculo o discriminante:
Como
, teremos duas raízes reais e distintas.
Passo 4
Aplicando a fórmula das raízes com
:
Assim obtemos as duas raízes:
Passo 5
Concluir a parte (b): verificamos explicitamente que
e
são números reais e ambos são negativos. Portanto estão provadas as afirmações pedidas em (b).
Passo 6
Escrever a solução geral da EDO de segunda ordem a partir das raízes reais e distintas: quando as raízes
são reais e distintas, a solução geral é
Substituindo
e
obtemos
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Passar para o sistema de primeira ordem (para construir o retrato de fase). Definimos
Então
Escrevendo em forma matricial
, temos
A equação característica do sistema
dá exatamente
, cujas soluções já encontramos:
. Estes
são os autovalores (eigenvalues) da matriz
.]
Passo 8
Encontrar os autovetores (direções principais) associados a cada autovalor. Para um autovalor
não nulo, um autovetor é proporcional a
no caso de soluções da forma
para o sistema obtido da segunda ordem. Posso obter explicitamente resolvendo
.
Para
: resolvo
,
Da primeira linha
segue
. Tomando
obtemos o autovetor
Para
: resolvo
,
Da primeira linha
segue
. Tomando
obtemos
Essas duas direções no plano
são as direções principais (retas passando pela origem com declives
e
).]
Passo 9
Classificação do equilíbrio na origem: como os dois autovalores
e
são reais, distintos e ambos têm parte real negativa, o ponto de equilíbrio na origem é um nó estável (nó atrator). Explicando em linguagem clara: soluções decaem exponencialmente para zero quando
; não há oscilações (nenhuma parte imaginária) e todas as trajetórias no plano de fase vão para a origem.
Passo 10
Comportamento assintótico e direções principais (importante para a prova): entre as duas direções, a que corresponde ao autovalor mais próximo de zero domina quando
porque decai mais devagar. Aqui
é menor que
, então o autovalor
é o de decaimento mais lento. Isso significa que para uma solução genérica (com
na forma
) a solução se alinha, quando
, com o autovetor associado a
: ou seja, as trajetórias aproximam-se tangentes à reta
ao se aproximarem da origem. A reta
também é uma direção eigencal, mas as trajetórias se aproximam dela mais rapidamente (decai mais rápido) e, portanto, a aproximação final é dominada pela reta de declive
.
Passo 11
Descrição do retrato de fase (esboço verbal que você pode reproduzir no exame): desenhe o plano com eixo horizontal
e vertical
. Marque as duas retas que passam pela origem com declives
(menos íngreme) e
(mais íngreme). Em ambas as retas as soluções movem-se em direção à origem (setas apontando para dentro), pois ambos os autovalores são negativos. Para pontos iniciais não sobre as retas, as trajetórias entram curvas que se dirigem ao interior e, ao se aproximarem da origem, tornam-se quase paralelas à reta
. Isso caracteriza um nó estável. Dica rápida para o rascunho: mostre algumas trajetórias entre as retas, todas com setas apontando para o 0; uma trajetória na reta
se aproxima mais verticalmente e outra na reta
mais “horizontalmente” relativo à outra.
Passo 12
Pequena estratégia de prova/exame que vale ouro: 1) formar a equação característica direto por
; 2) calcular discriminante para saber se as raízes são reais/complexas/duplas; 3) se reais e negativas → nó estável; 4) obter autovetores
para desenhar as direções principais; 5) lembrar que a direção do autovalor com menor módulo (mais perto de zero) domina o comportamento assintótico.
Resposta
(a)
, raízes
.
(b) As raízes são reais e negativas (pois o discriminante e
).
(c) A origem é um nó estável (nó atrator). Direções principais: retas e
; as trajetórias vão para a origem e, quando
, aproximam-se tangentes à reta
(autovetor associado ao autovalor de decaimento mais lento).
(b) As raízes são reais e negativas (pois o discriminante
(c) A origem é um nó estável (nó atrator). Direções principais: retas