Dada a distribuição:
Salários (\mathrm{R} \)$ & Funcionários \ \hline 1000 \vdash 1500 8
1500 \vdash 2000 12
2000 \vdash 2500 15
2500 \vdash 3000 5
Calcule:
O salário mediano.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o salário mediano da distribuição de salários.
Informações fornecidas (peguei todos os números da tabela do enunciado):
  • Classes e suas frequências:
    • \,1000 \vdash 1500:\; f_1 = 8
    • \,1500 \vdash 2000:\; f_2 = 12
    • \,2000 \vdash 2500:\; f_3 = 15
    • \,2500 \vdash 3000:\; f_4 = 5

Passo 2

O que é a mediana em uma distribuição agrupada (explicação didática):
  • A mediana é o valor que divide a população ao meio: metade das observações ficam abaixo e metade acima.
  • Em dados agrupados por classe, não conhecemos os salários individuais dentro de cada classe, então estimamos a mediana supondo que os dados estão distribuídos de forma uniforme dentro da classe mediana e fazemos uma interpolação linear dentro dessa classe.
  • A fórmula prática que se usa é:
\tilde{x} = L + \frac{\frac{n}{2}-F}{f}\,h.
Explicando cada símbolo dessa fórmula:
  • \tilde{x} é a mediana estimada.
  • L é o limite inferior da classe mediana (o valor de início da classe).
  • n é o total de observações (soma das frequências).
  • F é a frequência acumulada até a classe anterior à classe mediana (ou seja, soma das frequências de todas as classes antes da classe mediana).
  • f é a frequência da classe mediana.
  • h é a amplitude (largura) da classe mediana (supondo classes de mesma largura aqui).
Comentário objetivo sobre a escolha de \frac{n}{2}:
  • Para dados agrupados costuma-se usar \frac{n}{2} como ponto que divide o grupo em duas metades; isso é o que a fórmula acima emprega.

Passo 3

Calcular o total de observações n e as frequências acumuladas:
  • Soma das frequências:
n = 8 + 12 + 15 + 5 = 40.
  • Frequências acumuladas (até cada classe):
    • após a 1ª classe: 8
    • após a 2ª classe: 8+12=20
    • após a 3ª classe: 20+15=35
    • após a 4ª classe: 35+5=40

Passo 4

Determinar a classe mediana:
  • Calculamos \dfrac{n}{2} = \dfrac{40}{2} = 20.
  • A classe mediana é a primeira classe cujo acumulado atinge ou ultrapassa \dfrac{n}{2}.
  • Observando os acumulados, o acumulado chega a 20 exatamente no final da 2ª classe \,1500 \vdash 2000. Logo, a classe mediana é \,1500 \vdash 2000.
Identificar os parâmetros necessários para a fórmula:
  • L = 1500 (limite inferior da classe mediana).
  • F = frequência acumulada antes dessa classe = 8.
  • f = frequência da classe mediana = 12.
  • h = amplitude da classe = 2000-1500=500.

Passo 5

Aplicar a fórmula e calcular passo a passo:
\tilde{x} = L + \frac{\frac{n}{2}-F}{f}\,h.
Substituindo os valores:
\tilde{x} = 1500 + \frac{20 - 8}{12}\cdot 500.
Calcular a diferença no numerador:
20 - 8 = 12.
Dividir pela frequência da classe:
\frac{12}{12} = 1.
Multiplicar por h:
1 \cdot 500 = 500.
Somar ao limite inferior:
\tilde{x} = 1500 + 500 = 2000.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida:
  • O cálculo mostra que a mediana cai exatamente no limite superior da 2ª classe, ou seja, \,2000.
  • Faz sentido: o acumulado até a 2ª classe é 20, que é exatamente metade de 40, portanto a mediana está no ponto de fronteira entre a 2ª e 3ª classes.

Resposta

\text{R\$ }2000

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