Dada a distribuição:
Salários
)$ & Funcionários \ \hline
8
12
15
5
Calcule:
O salário mediano.
| Salários
|
8 |
|
|
12 |
|
|
15 |
|
|
5 |
O salário mediano.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular o salário mediano da distribuição de salários.
Informações fornecidas (peguei todos os números da tabela do enunciado):
- Classes e suas frequências:
-
Passo 2
O que é a mediana em uma distribuição agrupada (explicação didática):
- A mediana é o valor que divide a população ao meio: metade das observações ficam abaixo e metade acima.
- Em dados agrupados por classe, não conhecemos os salários individuais dentro de cada classe, então estimamos a mediana supondo que os dados estão distribuídos de forma uniforme dentro da classe mediana e fazemos uma interpolação linear dentro dessa classe.
- A fórmula prática que se usa é:
Explicando cada símbolo dessa fórmula:
-
é a mediana estimada. -
é o limite inferior da classe mediana (o valor de início da classe). -
é o total de observações (soma das frequências). -
é a frequência acumulada até a classe anterior à classe mediana (ou seja, soma das frequências de todas as classes antes da classe mediana). -
é a frequência da classe mediana. -
é a amplitude (largura) da classe mediana (supondo classes de mesma largura aqui).
Comentário objetivo sobre a escolha de
:
- Para dados agrupados costuma-se usar
como ponto que divide o grupo em duas metades; isso é o que a fórmula acima emprega.
Passo 3
Calcular o total de observações
e as frequências acumuladas:
- Soma das frequências:
- Frequências acumuladas (até cada classe):
- após a 1ª classe:
- após a 2ª classe:
- após a 3ª classe:
- após a 4ª classe:
- após a 1ª classe:
Passo 4
Determinar a classe mediana:
- Calculamos
. - A classe mediana é a primeira classe cujo acumulado atinge ou ultrapassa
. - Observando os acumulados, o acumulado chega a
exatamente no final da 2ª classe . Logo, a classe mediana é .
Identificar os parâmetros necessários para a fórmula:
-
(limite inferior da classe mediana). -
frequência acumulada antes dessa classe . -
frequência da classe mediana . -
amplitude da classe .
Passo 5
Aplicar a fórmula e calcular passo a passo:
Substituindo os valores:
Calcular a diferença no numerador:
Dividir pela frequência da classe:
Multiplicar por
:
Somar ao limite inferior:
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida:
- O cálculo mostra que a mediana cai exatamente no limite superior da 2ª classe, ou seja,
. - Faz sentido: o acumulado até a 2ª classe é
, que é exatamente metade de , portanto a mediana está no ponto de fronteira entre a 2ª e 3ª classes.