Considere a tabela de distribuição de probabilidades abaixo:
x 1 2 3 4 5
f_{X}(x) K 2 K \left(K^{2}+0,16\right) 0,1 K / 2

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Table 1: Tabela 1: Tabela de distribuição de probabilidades
a) Determine o valor de K para que f_{X}(x) seja uma fdp;
b) Calcule \operatorname{Pr}(2<X \leq 4,5);

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória discreta com possíveis valores x\in\{1,2,3,4,5\} e pmf
f_X(1)=K,\quad f_X(2)=2K,\quad f_X(3)=K^2+0,16,\quad f_X(4)=0,1,\quad f_X(5)=\tfrac{K}{2}.
Queremos (a) determinar K usando a condição de normalização de uma fdp discreta e (b) calcular \Pr(2<X\le4,5).

Passo 2

Usamos a condição de que a soma das probabilidades vale 1:
K + 2K + (K^2+0,16) + 0,1 + \frac{K}{2} = 1.

Passo 3

Agrupando termos em K e constantes:
K^2 + \Bigl(K + 2K + \tfrac{K}{2}\Bigr) + 0,16 + 0,1 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad K^2 + \frac{7}{2}K - 0,74 = 0.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = \Bigl(\tfrac{7}{2}\Bigr)^2 +4\cdot0,74 = 15,21, \quad \sqrt{\Delta}=3,9.
As raízes são
K = \frac{-\tfrac{7}{2}\pm3,9}{2} = \frac{-3,5\pm3,9}{2}.
Descartamos a raiz negativa e obtemos
K = \frac{-3,5+3,9}{2} = 0,2.

Passo 5

Para calcular \Pr(2<X\le4,5) somamos f_X(3) e f_X(4):
f_X(3)=K^2+0,16=0,04+0,16=0,20, \quad f_X(4)=0,1,
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\Pr(2<X\le4,5)=0,20+0,1=0,30.

Resposta

K=0,2
\Pr(2<X\le4,5)=0,30

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