Considere a tabela a seguir:
x 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
f(x) 0.12 0.16 0.19 0.22 0.27
Estime o valor de f(0.17) usando um polinômio interpolador de grau 2 pelo método de Lagrange;

Passo 1

O enunciado pede: estimar o valor de f(0,17) usando um polinômio interpolador de grau 2 pelo método de Lagrange.
Os dados fornecidos na tabela são:
\begin{array}{c|ccccc} x & 0,15 & 0,20 & 0,25 & 0,30 & 0,35\\hline f(x) & 0,12 & 0,16 & 0,19 & 0,22 & 0,27 \end{array}

Passo 2

Escolha dos pontos para construir o polinômio de grau 2: vou usar os três pontos mais próximos de 0,17, que são \,0,15,\;0,20,\;0,25. Denoto
x_0=0,15,\\ f_0=f(x_0)=0,12;\qquad x_1=0,20,\\ f_1=f(x_1)=0,16;\qquad x_2=0,25,\\ f_2=f(x_2)=0,19.
Motivo: para interpolação local, escolhemos pontos próximos do ponto onde queremos estimar a função, assim o polinômio tende a representar bem o comportamento local.

Passo 3

Fórmula de Lagrange (aula rápida): o polinômio interpolador de grau 2 é
P_2(x)=\sum_{i=0}^{2} f_i\,L_i(x),
onde cada polinômio base de Lagrange L_i(x) é dado por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Explicando as letras: x é o ponto onde avaliamos o polinômio (aqui x=0,17), x_i são as abscissas conhecidas, f_i os valores correspondentes, e L_i(x) é um fator que vale 1 em x=x_i e 0 em x=x_j para j\ne i.

Passo 4

Calcular L_0(0,17). Usando x_0=0,15,\;x_1=0,20,\;x_2=0,25:
L_0(0,17)=\frac{0,17-0,20}{0,15-0,20}\cdot\frac{0,17-0,25}{0,15-0,25}.
Calcule passo a passo:
0,17-0,20=-0,03,\quad 0,15-0,20=-0,05,\quad 0,17-0,25=-0,08,\quad 0,15-0,25=-0,10.
Logo
L_0(0,17)=\frac{-0,03}{-0,05}\cdot\frac{-0,08}{-0,10}=0,6\cdot 0,8=0,48.

Passo 5

Calcular L_1(0,17):
L_1(0,17)=\frac{0,17-0,15}{0,20-0,15}\cdot\frac{0,17-0,25}{0,20-0,25}.
Passos:
0,17-0,15=0,02,\quad 0,20-0,15=0,05,\quad 0,17-0,25=-0,08,\quad 0,20-0,25=-0,05.
Então
L_1(0,17)=\frac{0,02}{0,05}\cdot\frac{-0,08}{-0,05}=0,4\cdot 1,6=0,64.

Passo 6

Calcular L_2(0,17):
L_2(0,17)=\frac{0,17-0,15}{0,25-0,15}\cdot\frac{0,17-0,20}{0,25-0,20}.
Passos:
0,25-0,15=0,10,\quad 0,17-0,15=0,02,\quad 0,17-0,20=-0,03,\quad 0,25-0,20=0,05.
Logo
L_2(0,17)=\frac{0,02}{0,10}\cdot\frac{-0,03}{0,05}=0,2\cdot(-0,6)=-0,12.

Passo 7

Verificação rápida (sanity check): a soma das bases deve ser 1:
L_0(0,17)+L_1(0,17)+L_2(0,17)=0,48+0,64-0,12=1,00,
o que confirma que os cálculos das L_i estão consistentes.

Passo 8

Agora montamos P_2(0,17):
P_2(0,17)=f_0L_0(0,17)+f_1L_1(0,17)+f_2L_2(0,17).
Substituindo os valores:
P_2(0,17)=0,12\cdot 0,48 + 0,16\cdot 0,64 + 0,19\cdot(-0,12).
Calcule cada termo:
0,12\cdot 0,48=0,0576,\quad 0,16\cdot 0,64=0,1024,\quad 0,19\cdot(-0,12)=-0,0228.
Somando:
P_2(0,17)=0,0576+0,1024-0,0228=0,1372.

Resposta

f(0,17)\approx 0,1372

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