Considere a tabela a seguir:
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.12
0.16
0.19
0.22
0.27
Estime o valor de
usando um polinômio interpolador de grau 2 pelo método de Lagrange;
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0.15 | 0.20 | 0.25 | 0.30 | 0.35 |
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0.12 | 0.16 | 0.19 | 0.22 | 0.27 |
Passo 1
O enunciado pede: estimar o valor de
usando um polinômio interpolador de grau
pelo método de Lagrange.
Os dados fornecidos na tabela são:
Os dados fornecidos na tabela são:
Passo 2
Escolha dos pontos para construir o polinômio de grau
: vou usar os três pontos mais próximos de
, que são
. Denoto
Motivo: para interpolação local, escolhemos pontos próximos do ponto onde queremos estimar a função, assim o polinômio tende a representar bem o comportamento local.
Passo 3
Fórmula de Lagrange (aula rápida): o polinômio interpolador de grau
é
onde cada polinômio base de Lagrange
é dado por
Explicando as letras:
é o ponto onde avaliamos o polinômio (aqui
),
são as abscissas conhecidas,
os valores correspondentes, e
é um fator que vale
em
e
em
para
.
Passo 4
Calcular
. Usando
:
Calcule passo a passo:
Logo
Passo 5
Calcular
:
Passos:
Então
Passo 6
Calcular
:
Passos:
Logo
Passo 7
Verificação rápida (sanity check): a soma das bases deve ser
:
o que confirma que os cálculos das
estão consistentes.
Passo 8
Agora montamos
:
Substituindo os valores:
Calcule cada termo:
Somando: