Exercício \mathbf{1} ( \mathbf{4 , 0} pontos): Seja \mathcal{C} a curva no espaço representada pela função vetorial \alpha:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por \alpha(t)=\left(e^{-t} \cos (\pi t), 1-e^{-t}, e^{-t} \operatorname{sen}(\pi t)\right).
a) (1,0) Mostre que todos os pontos desta curva \mathcal{C} estão contidos em uma superficie quádrica.
b) (1,5) Determine a equação da reta tangente a esta curva \mathcal{C} no ponto P=\alpha(1).
c) (1,5) Calcule o comprimento desta curva \mathcal{C}.

Passo 1

O enunciado dá a curva \mathcal{C} definida por \alpha:[0,2]\to\mathbb{R}^3 com
\alpha(t)=\bigl(e^{-t}\cos(\pi t),\;1-e^{-t},\;e^{-t}\sin(\pi t)\bigr),
para t\in[0,2]. As perguntas são:
  1. Mostrar que todos os pontos de \mathcal{C} estão contidos numa superfície quádric a (isto é, encontrar uma equação polinomial de grau 2 em x,y,z satisfeita por todos os pontos \alpha(t)).
  2. Determinar a equação da reta tangente à curva em P=\alpha(1).
  3. Calcular o comprimento da curva \mathcal{C} para t\in[0,2].
Informações relevantes dadas pelo enunciado que usaremos:
x(t)=e^{-t}\cos(\pi t),\qquad y(t)=1-e^{-t},\qquad z(t)=e^{-t}\sin(\pi t).
O parâmetro varia em t\in[0,2].

Passo 2

(a) — Encontrar uma relação entre x,y,z sem o parâmetro t.
Primeiro note a expressão para y(t). De \;y(t)=1-e^{-t}\; temos, isolando e^{-t},
e^{-t}=1-y.
Isso é válido porque para todo t dado e^{-t}>0, logo 1-y>0 (mais adiante eu explico o efeito disso). Agora substituímos e^{-t}=1-y nas componentes x e z:
x=(1-y)\cos(\pi t),\qquad z=(1-y)\sin(\pi t).
Essas duas igualdades indicam que x e z são as projeções de (1-y) multiplicadas por \cos(\pi t) e \sin(\pi t). Agora somamos os quadrados das duas componentes (isso ajuda a eliminar a dependência de \pi t usando \cos^2+\sin^2=1):
x^2+z^2=(1-y)^2\bigl(\cos^2(\pi t)+\sin^2(\pi t)\bigr)=(1-y)^2.

Passo 3

(a) — Concluir e interpretar a equação quádric a.
A igualdade obtida é
x^2+z^2=(1-y)^2.
Essa é uma equação algébrica de grau 2 em x,y,z, portanto define uma superfície quádric a. Podemos rearranjá-la em várias formas equivalentes; por exemplo:
x^2+z^2-(1-y)^2=0
ou expandindo
x^2+z^2-y^2+2y-1=0.
Geometricamente, a superfície x^2+z^2=(1-y)^2 é um cone duplo com vértice em (0,1,0). Como no nosso caso e^{-t}>0 para todo t, temos 1-y=e^{-t}>0, isto é, y<1, então a curva \mathcal{C} fica numa única “nappa” do cone (a parte onde 1-y>0). Assim mostramos que todos os pontos de \mathcal{C} pertencem à superfície quádric a dada acima.

Passo 4

(b) — Preparar para encontrar a reta tangente: calcular \alpha'(t) com explicações.
Regra usada: para derivar um produto u(t)v(t) usamos a regra do produto (uv)'=u'v+uv'. Para funções compostas como \cos(\pi t) usamos a regra da cadeia: \frac{d}{dt}\cos(\pi t)=-\sin(\pi t)\cdot\pi.
As componentes de \alpha(t) eram
x(t)=e^{-t}\cos(\pi t),\qquad y(t)=1-e^{-t},\qquad z(t)=e^{-t}\sin(\pi t).
Derivando componente a componente:
Para x(t):
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}\bigr)\cos(\pi t)+e^{-t}\frac{d}{dt}\cos(\pi t) =-e^{-t}\cos(\pi t)+e^{-t}\bigl(-\pi\sin(\pi t)\bigr).
Fatorando e^{-t}:
x'(t)=e^{-t}\bigl(-\cos(\pi t)-\pi\sin(\pi t)\bigr).
Para y(t):
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(1-e^{-t}\bigr)= -\frac{d}{dt}e^{-t}= -(-e^{-t})=e^{-t}.
(Usei que \frac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t}.)
Para z(t):
z'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}\bigr)\sin(\pi t)+e^{-t}\frac{d}{dt}\sin(\pi t) =-e^{-t}\sin(\pi t)+e^{-t}\bigl(\pi\cos(\pi t)\bigr).
Fatorando e^{-t}:
z'(t)=e^{-t}\bigl(-\sin(\pi t)+\pi\cos(\pi t)\bigr).
Portanto
\alpha'(t)=e^{-t}\Bigl(-\cos(\pi t)-\pi\sin(\pi t),\;1,\; -\sin(\pi t)+\pi\cos(\pi t)\Bigr).

Passo 5

(b) — Avaliar \alpha'(t) em t=1 e escrever a reta tangente.
Primeiro calculamos P=\alpha(1). Use \cos(\pi)=-1 e \sin(\pi)=0 e e^{-1}=\tfrac{1}{e}:
x(1)=e^{-1}\cos(\pi)=-\tfrac{1}{e},\qquad y(1)=1-e^{-1}=1-\tfrac{1}{e},\qquad z(1)=0.
Logo P=\displaystyle\Bigl(-\tfrac{1}{e},\,1-\tfrac{1}{e},\,0\Bigr).
Agora \alpha'(1): substituindo \cos(\pi)=-1, \sin(\pi)=0 e e^{-1}=\tfrac{1}{e} nas fórmulas de \alpha'(t),
x'(1)=\tfrac{1}{e}\bigl(-(-1)-\pi\cdot 0\bigr)=\tfrac{1}{e}, \qquad y'(1)=\tfrac{1}{e}, \qquad z'(1)=\tfrac{1}{e}\bigl(-0+\pi(-1)\bigr)=-\tfrac{\pi}{e}.
Um vetor tangente em P é \alpha'(1)=\tfrac{1}{e}(1,1,-\pi). Podemos simplificar a direção e tomar (1,1,-\pi) como vetor diretor da reta (vetores escalares múltiplos definem a mesma direção).
A equação vetorial da reta tangente passando por P com parâmetro \lambda\in\mathbb{R} é
\ell(\lambda)=\Bigl(-\tfrac{1}{e},\,1-\tfrac{1}{e},\,0\Bigr)+\lambda(1,1,-\pi).
Em coordenadas paramétricas:
x(\lambda)=-\tfrac{1}{e}+\lambda,\qquad y(\lambda)=1-\tfrac{1}{e}+\lambda,\qquad z(\lambda)=-\pi\lambda.

Passo 6

(c) — Calcular o comprimento da curva por t\in[0,2].
Fórmula usada: o comprimento de arco de uma curva \alpha:[a,b]\to\mathbb{R}^3 é
L=\int_a^b\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|\,dt,
onde \|\alpha'(t)\|=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}.
Já temos \alpha'(t)=e^{-t}\bigl(A(t),1,B(t)\bigr) com
A(t)=-\cos(\pi t)-\pi\sin(\pi t),\qquad B(t)=-\sin(\pi t)+\pi\cos(\pi t).
Calculamos o quadrado da norma:
\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|^2=e^{-2t}\bigl(A(t)^2+1+B(t)^2\bigr).
Agora expandimos A(t)^2+B(t)^2. Computei passo a passo:
A(t)^2=\cos^2(\pi t)+2\pi\cos(\pi t)\sin(\pi t)+\pi^2\sin^2(\pi t),
B(t)^2=\sin^2(\pi t)-2\pi\sin(\pi t)\cos(\pi t)+\pi^2\cos^2(\pi t).
Somando A(t)^2+B(t)^2 os termos mistos 2\pi\cos\sin e -2\pi\cos\sin se cancelam, restando
A(t)^2+B(t)^2=\cos^2(\pi t)+\sin^2(\pi t)+\pi^2\bigl(\sin^2(\pi t)+\cos^2(\pi t)\bigr)=(1)+\pi^2(1)=1+\pi^2.
Assim
A(t)^2+1+B(t)^2=(1+\pi^2)+1=2+\pi^2.
Portanto a norma simplifica muito:
\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|=e^{-t}\sqrt{2+\pi^2}.
Agora integramos:
L=\int_0^2 e^{-t}\sqrt{2+\pi^2}\,dt=\sqrt{2+\pi^2}\int_0^2 e^{-t}\,dt.
Calcule a integral elementar \int_0^2 e^{-t}\,dt=[-e^{-t}]_0^2=1-e^{-2}. Logo
L=\sqrt{2+\pi^2}\,\bigl(1-e^{-2}\bigr).

Resposta

x^2+z^2=(1-y)^2.
\ell(\lambda)=\displaystyle\Bigl(-\tfrac{1}{e},\,1-\tfrac{1}{e},\,0\Bigr)+\lambda(1,1,-\pi),\\ \lambda\in\mathbb{R}.
L=\sqrt{2+\pi^2}\,\bigl(1-e^{-2}\bigr).

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