Exercício \mathbf{1} ( \mathbf{4 , 0} pontos): Seja \mathcal{C} a curva no espaço representada pela função vetorial \alpha:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por \alpha(t)=\left(e^{-t} \cos (\pi t), 1-e^{-t}, e^{-t} \operatorname{sen}(\pi t)\right).
a) (1,0) Mostre que todos os pontos desta curva \mathcal{C} estão contidos em uma superficie quádrica.
b) (1,5) Determine a equação da reta tangente a esta curva \mathcal{C} no ponto P=\alpha(1).
c) (1,5) Calcule o comprimento desta curva \mathcal{C}.
Passo 1
O enunciado dá a curva \mathcal{C} definida por \alpha:[0,2]\to\mathbb{R}^3 com
Mostrar que todos os pontos de \mathcal{C} estão contidos numa superfície quádric a (isto é, encontrar uma equação polinomial de grau 2 em x,y,z satisfeita por todos os pontos \alpha(t)).
Determinar a equação da reta tangente à curva em P=\alpha(1).
Calcular o comprimento da curva \mathcal{C} para t\in[0,2].
Informações relevantes dadas pelo enunciado que usaremos:
(a) — Encontrar uma relação entre x,y,z sem o parâmetro t.
Primeiro note a expressão para y(t). De \;y(t)=1-e^{-t}\; temos, isolando e^{-t},
e^{-t}=1-y.
Isso é válido porque para todo t dado e^{-t}>0, logo 1-y>0 (mais adiante eu explico o efeito disso). Agora substituímos e^{-t}=1-y nas componentes x e z:
x=(1-y)\cos(\pi t),\qquad z=(1-y)\sin(\pi t).
Essas duas igualdades indicam que x e z são as projeções de (1-y) multiplicadas por \cos(\pi t) e \sin(\pi t). Agora somamos os quadrados das duas componentes (isso ajuda a eliminar a dependência de \pi t usando \cos^2+\sin^2=1):
Essa é uma equação algébrica de grau 2 em x,y,z, portanto define uma superfície quádric a. Podemos rearranjá-la em várias formas equivalentes; por exemplo:
x^2+z^2-(1-y)^2=0
ou expandindo
x^2+z^2-y^2+2y-1=0.
Geometricamente, a superfície x^2+z^2=(1-y)^2 é um cone duplo com vértice em (0,1,0). Como no nosso caso e^{-t}>0 para todo t, temos 1-y=e^{-t}>0, isto é, y<1, então a curva \mathcal{C} fica numa única “nappa” do cone (a parte onde 1-y>0). Assim mostramos que todos os pontos de \mathcal{C} pertencem à superfície quádric a dada acima.
Passo 4
(b) — Preparar para encontrar a reta tangente: calcular \alpha'(t) com explicações.
Regra usada: para derivar um produto u(t)v(t) usamos a regra do produto (uv)'=u'v+uv'. Para funções compostas como \cos(\pi t) usamos a regra da cadeia: \frac{d}{dt}\cos(\pi t)=-\sin(\pi t)\cdot\pi.
Um vetor tangente em P é \alpha'(1)=\tfrac{1}{e}(1,1,-\pi). Podemos simplificar a direção e tomar (1,1,-\pi) como vetor diretor da reta (vetores escalares múltiplos definem a mesma direção).
A equação vetorial da reta tangente passando por P com parâmetro \lambda\in\mathbb{R} é