1. Resolva o sistema utilizando o método de Gauss com pivotação
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}=11 \\\ x_{1}+4 x_{2}-x_{3}=6 \\\\ -x_{2}+3 x_{3}=8 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 2x_{1} + x_{2} = 11,\\\ x_{1} + 4x_{2} - x_{3} = 6,\\\\ -\,x_{2} + 3x_{3} = 8 \end{cases}
usando eliminação de Gauss com pivotação parcial. Vamos montar a matriz aumentada, escolher pivôs de maior valor absoluto em cada coluna e zerar abaixo deles, finalizando com retro-substituição.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 11\\\\ 1 & 4 & -1 & 6\\\\ 0 & -1 & 3 & 8 \end{array}\right].
Para a primeira coluna, comparamos |2| (linha 1) e |1| (linha 2). O maior pivô é 2 em linha 1, logo não trocamos linhas. Calculamos o fator
f_{21} = \frac{1}{2}
e atualizamos a linha 2:
\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - f_{21}\,\text{linha}_1.
Isso leva a
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 11\\\\ 0 & 4 - \tfrac12 & -1 - 0 & 6 - \tfrac{11}{2}\\\\ 0 & -1 & 3 & 8 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 11\\\\ 0 & \tfrac72 & -1 & \tfrac12\\\\ 0 & -1 & 3 & 8 \end{array}\right].

Passo 3

Agora consideramos a submatriz das linhas 2–3 e colunas 2–3. Para a coluna 2 comparamos \bigl|\tfrac72\bigr| e |-1|. O maior pivô é \tfrac72 na linha 2, então permanecemos sem trocar linhas. Calculamos
f_{32} = \frac{-1}{\tfrac72} = -\frac{2}{7}
e zeramos abaixo do pivô:
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - f_{32}\,\text{linha}_2.
Isso gera
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 11\\\\ 0 & \tfrac72 & -1 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & 3 -\bigl(-\tfrac{2}{7}\bigr)\cdot(-1) & 8 -\bigl(-\tfrac{2}{7}\bigr)\cdot\tfrac12 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 11\\\\ 0 & \tfrac72 & -1 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & \tfrac{19}{7} & \tfrac{57}{7} \end{array}\right].

Passo 4

Agora temos o sistema triangular superior:
\begin{cases} 2x_{1} + x_{2} = 11,\\\ \tfrac72\,x_{2} - x_{3} = \tfrac12,\\\ \tfrac{19}{7}\,x_{3} = \tfrac{57}{7}. \end{cases}
Da terceira equação vem
x_{3} = \frac{\tfrac{57}{7}}{\tfrac{19}{7}} = \frac{57}{19} = 3.
Substituindo na segunda:
\tfrac72\,x_{2} - 3 = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac72\,x_{2} = \tfrac12 + 3 = \tfrac12 + \tfrac{6}{2} = \tfrac{7}{2} \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = 1.
Finalmente, da primeira:
2x_{1} + 1 = 11 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{1} = 10 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} = 5.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3}) = (5,\,1,\,3).

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