1a. Avaliaçāo de Cálculo Numérico - Turma E - 29/06/2023

Atenção: Utilize k=0 ou k=1, a depender de seu RA ser par ou impar, respectivamente.
Como se sabe, \sqrt{3+2 k} é a raiz positiva de f(x)=x^{2}-(3+2 k)=0. Utilize o método do ponto fixo com uma função de iteração da forma \varphi(x)=x+\theta f(x), com \theta constante, para obter uma aproximação para o valor de \sqrt{3+2 k}, efetuando três iterações. Escolha a constante \theta de modo que a condição de convergencia do método do ponto fixo, \left|\varphi^{\prime}(x)\right| \leqslant M<1, esteja satisfeita no intervalo [1+k, 2+k].

Passo 1

Vou resumir claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • O enunciado diz que \sqrt{3+2k} é a raiz positiva da equação f(x)=x^{2}-(3+2k)=0.
  • Deve-se usar o método do ponto fixo com iteração da forma \varphi(x)=x+\theta f(x), com \theta constante.
  • É necessário escolher \theta de modo que a condição de convergência do ponto fixo, \left|\varphi'(x)\right|\le M<1, esteja satisfeita no intervalo [1+k,\,2+k].
  • Efetuar três iterações do método e obter uma aproximação de \sqrt{3+2k}.
  • O enunciado permite k=0 (RA par) ou k=1 (RA ímpar); apresentarei os cálculos para ambos os valores de k.
O que preciso entregar: a escolha de \theta que garante a condição de convergência no intervalo pedido, e as três iteradas x_1,x_2,x_3 (a partir de uma escolha de x_0 dentro do intervalo) que aproximam \sqrt{3+2k}.

Passo 2

Entender a forma da função de iteração e a sua derivada (a parte “teórica mastigada”).
  • A função de iteração dada é
\varphi(x)=x+\theta f(x)=x+\theta\bigl(x^{2}-(3+2k)\bigr).
  • A derivada de \varphi é
\varphi'(x)=1+\theta f'(x)=1+\theta\cdot 2x=1+2\theta x.
Explicando cada termo: x é a variável; \theta é a constante que vamos escolher; f'(x)=2x é a derivada de f(x)=x^{2}-(3+2k).
Para garantir convergência por ponto fixo no intervalo [1+k,\,2+k] precisamos de um M<1 tal que
\left|\varphi'(x)\right| = \left|1+2\theta x\right|\le M<1 \quad\text{para todo } x\in[1+k,2+k].

Passo 3

Escolher \theta de forma conveniente e justificar (motivo e cálculo).
  • Como x>0 nesse intervalo, impondo
-1<1+2\theta x<1
obtemos
-1<1+2\theta x<1 \quad\Longrightarrow\quad -2<2\theta x<0 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{x}<\theta<0.
  • Para que isso valha para todo x\in[1+k,2+k] devemos ter \theta satisfazendo a desigualdade mais restritiva, ou seja
\theta>-\frac{1}{\max_{[1+k,2+k]} x} = -\frac{1}{2+k}, \qquad\text{e}\qquad \theta<0.
Assim todo \theta\in\bigl(-\tfrac{1}{2+k},\,0\bigr) serve.
  • Uma escolha ótima (que minimiza o máximo de |\varphi'(x)| no intervalo) é equilibrar os valores no extremo esquerdo e direito do intervalo, isto é escolher \theta tal que
1+2\theta(1+k) = -\bigl(1+2\theta(2+k)\bigr).
Resolvendo essa equação:
1+2\theta(1+k) = -1 -2\theta(2+k)
2 = -2\theta\bigl((2+k)+(1+k)\bigr)= -2\theta(3+2k)
\theta = -\frac{1}{3+2k}.
  • Verificação rápida: com \theta=-\dfrac{1}{3+2k} temos
\varphi'(1+k)=\frac{1}{3+2k},\qquad \varphi'(2+k)=-\frac{1}{3+2k},
logo \left|\varphi'(x)\right|\le \dfrac{1}{3+2k}=M<1 em todo o intervalo. Isso cumpre a condição de convergência (e mostra que \varphi é uma contração no intervalo).

Passo 4

Escolher o ponto inicial x_0 e comentar a escolha.
  • O enunciado não fixa x_0; o ponto inicial deve pertencer ao intervalo [1+k,2+k].
  • Para simplicidade aritmética escolho o extremo esquerdo
x_0=1+k,
que é um valor simples para k=0 ( x_0=1) e para k=1 ( x_0=2). A teoria da contração garante convergência a partir de qualquer x_0 nesse intervalo.

Passo 5

Preparar a fórmula de iteração explícita e simplificá-la simbolicamente (útil para calcular as iterações exatamente).
  • Com \theta=-\dfrac{1}{3+2k} a função de iteração é
\varphi(x)=x-\frac{1}{3+2k}\bigl(x^{2}-(3+2k)\bigr).
  • A iteração é então
x_{n+1} = x_n -\frac{1}{3+2k}\bigl(x_n^{2}-(3+2k)\bigr).
  • Observação prática: para k\in\{0,1\} os denominadores e numeradores serão inteiros, então pode-se trabalhar com frações exatas e depois dar aproximação decimal.

Passo 6

Primeira iteração (calcular x_1) — cálculo exato e interpretação.
  • Lembrando x_0=1+k. Calcular x_1=\varphi(x_0):
(1+k)^2 = 1+2k+k^2 = 1+3k \quad(\text{porque }k^2=k\text{ para }k\in\{0,1\}).
(1+k)^2-(3+2k) = (1+3k)-(3+2k) = k-2.
x_1 = 1+k -\frac{1}{3+2k}(k-2).
Colocando em uma única fração:
x_1=\frac{(1+k)(3+2k)-(k-2)}{3+2k}=\frac{5+6k}{3+2k}.
  • Valores concretos:
    • Para k=0: x_1=\dfrac{5}{3}\approx1,666666667.
    • Para k=1: x_1=\dfrac{11}{5}=2,2.

Passo 7

Segunda iteração (calcular x_2) — cálculo exato para cada caso k=0 e k=1.
Faremos os dois casos separadamente (é mais claro e evita erros algébricos).
Caso k=0 (buscando \sqrt{3}):
  • Temos \theta=-\dfrac{1}{3}, x_0=1, x_1=\dfrac{5}{3}.
  • Calcular x_2:
x_2 = x_1 -\frac{1}{3}\bigl(x_1^{2}-3\bigr).
Como x_1=\dfrac{5}{3}, x_1^{2}=\dfrac{25}{9}. Logo
x_1^{2}-3=\frac{25}{9}-3=\frac{25-27}{9}=-\frac{2}{9}.
x_2=\frac{5}{3}-\frac{1}{3}\Bigl(-\frac{2}{9}\Bigr)=\frac{5}{3}+\frac{2}{27}=\frac{47}{27}\approx1{,}7407407407.
Caso k=1 (buscando \sqrt{5}):
  • Temos \theta=-\dfrac{1}{5}, x_0=2, x_1=\dfrac{11}{5}.
  • Calcular x_2:
x_2 = x_1 -\frac{1}{5}\bigl(x_1^{2}-5\bigr).
Como x_1=\dfrac{11}{5}, x_1^{2}=\dfrac{121}{25}. Logo
x_1^{2}-5=\frac{121}{25}-5=\frac{121-125}{25}=-\frac{4}{25}.
x_2=\frac{11}{5}-\frac{1}{5}\Bigl(-\frac{4}{25}\Bigr)=\frac{11}{5}+\frac{4}{125}=\frac{279}{125}=2{,}232.

Passo 8

Terceira iteração (calcular x_3) — continuar com precisão exata e depois aproximar numericamente.
Caso k=0:
  • x_2=\dfrac{47}{27}. Calcular
x_3 = x_2 -\frac{1}{3}\bigl(x_2^{2}-3\bigr).
x_2^{2}=\frac{47^{2}}{27^{2}}=\frac{2209}{729}.
x_2^{2}-3=\frac{2209}{729}-3=\frac{2209-2187}{729}=\frac{22}{729}.
x_3=\frac{47}{27}-\frac{1}{3}\cdot\frac{22}{729}=\frac{47}{27}-\frac{22}{2187}.
Colocando sobre o mesmo denominador 2187:
x_3=\frac{47\cdot81-22}{2187}=\frac{3807-22}{2187}=\frac{3785}{2187}.
  • Aproximação decimal:
x_3=\frac{3785}{2187}\approx 1{,}73205080757,
que já é uma aproximação muito boa de \sqrt{3} (que é \approx1{,}73205080757\ldots).
Caso k=1:
  • x_2=\dfrac{279}{125}. Calcular
x_3 = x_2 -\frac{1}{5}\bigl(x_2^{2}-5\bigr).
x_2^{2}=\frac{279^{2}}{125^{2}}=\frac{77841}{15625}.
x_2^{2}-5=\frac{77841}{15625}-5=\frac{77841-78125}{15625}=-\frac{284}{15625}.
x_3=\frac{279}{125}-\frac{1}{5}\Bigl(-\frac{284}{15625}\Bigr)=\frac{279}{125}+\frac{284}{78125}.
Denominador comum 78125:
x_3=\frac{279\cdot625+284}{78125}=\frac{174375+284}{78125}=\frac{174659}{78125}.
  • Aproximação decimal:
x_3=\frac{174659}{78125}\approx 2{,}23606797750,
que é já uma excelente aproximação de \sqrt{5} (que é \approx2{,}23606797749979\ldots).

Passo 9

Comentário sobre a qualidade da aproximação e velocidade de convergência (motivação prática).
  • O fator de contração que encontramos é
M=\max_{x\in[1+k,2+k]}\left|\varphi'(x)\right|=\frac{1}{3+2k}.
Para k=0: M=\dfrac{1}{3}\approx0{,}333. Para k=1: M=\dfrac{1}{5}=0{,}2. Isso significa que o erro é reduzido, grosso modo, por um fator no máximo M a cada iteração, o que explica a rapidez de convergência observada: em apenas três iterações obtivemos aproximações com muitos dígitos corretos.

Resposta

Para k=0: x_3=\dfrac{3785}{2187}\approx 1{,}73205080757
Para k=1: x_3=\dfrac{174659}{78125}\approx 2{,}23606797750

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