1a. Avaliaçāo de Cálculo Numérico - Turma E - 29/06/2023
Atenção: Utilize k=0 ou k=1, a depender de seu RA ser par ou impar, respectivamente.
Como se sabe, \sqrt{3+2 k} é a raiz positiva de f(x)=x^{2}-(3+2 k)=0. Utilize o método do ponto fixo com uma função de iteração da forma \varphi(x)=x+\theta f(x), com \theta constante, para obter uma aproximação para o valor de \sqrt{3+2 k}, efetuando três iterações. Escolha a constante \theta de modo que a condição de convergencia do método do ponto fixo, \left|\varphi^{\prime}(x)\right| \leqslant M<1, esteja satisfeita no intervalo [1+k, 2+k].
Passo 1
Vou resumir claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
O enunciado diz que \sqrt{3+2k} é a raiz positiva da equação f(x)=x^{2}-(3+2k)=0.
Deve-se usar o método do ponto fixo com iteração da forma \varphi(x)=x+\theta f(x), com \theta constante.
É necessário escolher \theta de modo que a condição de convergência do ponto fixo, \left|\varphi'(x)\right|\le M<1, esteja satisfeita no intervalo [1+k,\,2+k].
Efetuar três iterações do método e obter uma aproximação de \sqrt{3+2k}.
O enunciado permite k=0 (RA par) ou k=1 (RA ímpar); apresentarei os cálculos para ambos os valores de k.
O que preciso entregar: a escolha de \theta que garante a condição de convergência no intervalo pedido, e as três iteradas x_1,x_2,x_3 (a partir de uma escolha de x_0 dentro do intervalo) que aproximam \sqrt{3+2k}.
Passo 2
Entender a forma da função de iteração e a sua derivada (a parte “teórica mastigada”).
Assim todo \theta\in\bigl(-\tfrac{1}{2+k},\,0\bigr) serve.
Uma escolha ótima (que minimiza o máximo de |\varphi'(x)| no intervalo) é equilibrar os valores no extremo esquerdo e direito do intervalo, isto é escolher \theta tal que
logo \left|\varphi'(x)\right|\le \dfrac{1}{3+2k}=M<1 em todo o intervalo. Isso cumpre a condição de convergência (e mostra que \varphi é uma contração no intervalo).
Passo 4
Escolher o ponto inicial x_0 e comentar a escolha.
O enunciado não fixa x_0; o ponto inicial deve pertencer ao intervalo [1+k,2+k].
Para simplicidade aritmética escolho o extremo esquerdo
x_0=1+k,
que é um valor simples para k=0 (x_0=1) e para k=1 (x_0=2). A teoria da contração garante convergência a partir de qualquer x_0 nesse intervalo.
Passo 5
Preparar a fórmula de iteração explícita e simplificá-la simbolicamente (útil para calcular as iterações exatamente).
Com \theta=-\dfrac{1}{3+2k} a função de iteração é
Observação prática: para k\in\{0,1\} os denominadores e numeradores serão inteiros, então pode-se trabalhar com frações exatas e depois dar aproximação decimal.
Passo 6
Primeira iteração (calcular x_1) — cálculo exato e interpretação.
Lembrando x_0=1+k. Calcular x_1=\varphi(x_0):
(1+k)^2 = 1+2k+k^2 = 1+3k \quad(\text{porque }k^2=k\text{ para }k\in\{0,1\}).
Para k=0: M=\dfrac{1}{3}\approx0{,}333. Para k=1: M=\dfrac{1}{5}=0{,}2. Isso significa que o erro é reduzido, grosso modo, por um fator no máximo M a cada iteração, o que explica a rapidez de convergência observada: em apenas três iterações obtivemos aproximações com muitos dígitos corretos.
Resposta
Para k=0: x_3=\dfrac{3785}{2187}\approx 1{,}73205080757
Para k=1: x_3=\dfrac{174659}{78125}\approx 2{,}23606797750