1a. Avaliaçāo de Cálculo Numérico - Turma E - 29/06/2023
Atenção: Utilize k=0 ou k=1, a depender de seu RA ser par ou impar, respectivamente.
Resolva o sistema linear abaixo utilizando fatoraçāo LU com pivoteamento parcial.
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O sistema a ser resolvido (com k=0\) ou \(k=1\)) é:
\[\begin{cases} x+\left(\dfrac{3+k}{2+k}\right)y+(4-2k)z=2+k,\\[6pt] (2+k)x+y=4+5k,\\[6pt] x+\left(\dfrac{5+2k}{2+k}\right)y+(4-2k)z=2+k. \end{cases}
O enunciado pede: resolver este sistema usando fatoração LU\] com pivoteamento parcial.
Como não foi informado qual \(k escolher, vou resolver explicitamente para os dois casos possíveis: k=0 e k=1. Em cada caso farei: montar A e b, aplicar pivoteamento parcial durante a eliminação (registrando a permutação P), obter L e U tais que PA=LU, e então resolver Ly=Pb e Ux=y por substituição direta.]
Passo 2
Caso k=0. Primeiro escrevo a matriz dos coeficientes A e o vetor b.
Agora faço pivoteamento parcial na coluna 1: entre as entradas |1|,|2|,|1| o maior é 2 (linha 2). Portanto troco a linha 1 com a linha 2. Essa troca é registrada por uma matriz de permutação P. Após a troca a matriz aumentada fica:
Agora escolho pivô na coluna 2 entre as linhas 2 e 3: os valores absolutos são |1| e |2|, o maior é 2 (linha 3). Faço troca de linha 2 com linha 3 (registro mais uma permutação em P). Após a troca:
pois PA coloca as linhas originais na ordem (2,3,1). Os multiplicadores encontrados são \ell_{21}=\tfrac{1}{2},\; \ell_{31}=\tfrac{1}{2},\; \ell_{32}=\tfrac{1}{2}. Assim a matriz L (com diagonais 1) é
Agora resolvo Ly=Pb\). Primeiro calculo \(Pb\). O vetor \(b\) original é \(\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]2\end{pmatrix}\). Aplicando \(P\) (trocas) temos
\[Pb=\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Resolver Ly=Pb por substituição direta (forward substitution):
Pivoteamento parcial na coluna 1: os módulos |1|,|3|,|1| indicam que o maior pivô é 3 (linha 2). Troco linha 1 com linha 2. A matriz aumentada passa a ser
Resolver Ly=Pb\) no caso \(k=1\). O vetor \(b\) original é \(\begin{pmatrix}3\\[4pt]9\\[4pt]3\end{pmatrix}\). Aplicando \(P\) (mesmas trocas) obtemos
\[Pb=\begin{pmatrix}9\\[4pt]3\\[4pt]3\end{pmatrix}.