Questão 4

Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s).

Seja f(x)=0.03 x^{3}-2 x+8 \operatorname{sen}(x+2) . Utilizando o método pégaso, determine o valor aproximado da raiz \xi de f(x)=0 no intervalo [5,6], com erro absoluto abaixo de 0,01 e avaliação do módulo da função também abaixo de 0,01 . OBS: utilize uma aproximação de pelo menos 4 casas decimais.
\xi \approx
Se k=0 for o valor da primeira iteração realizada.
Qual o valor final de k ? □

Passo 1

O enunciado pede: aproximar a raiz \xi da equação f(x)=0 no intervalo [5,6] para a função
f(x)=0,03 x^{3}-2 x+8\operatorname{sen}(x+2),
usando o método pégaso (variante do método da falsa posição), tal que (1) o erro absoluto entre aproximações sucessivas fique abaixo de 0,01 e (2) |f(x)|<0,01 na aproximação final. Foi dito que a primeira iteração terá índice k=0; a pergunta adicional é: qual o valor final de k quando o critério for satisfeito.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
\text{intervalo inicial: }[a,b]=[5,6],
f(x)=0,03x^{3}-2x+8\operatorname{sen}(x+2),
tolerâncias: |x_{n+1}-x_n|<0,01 e |f(x_{n+1})|<0,01. Não há outras informações externas.

Passo 2

Breve aula sobre o método pégaso (didático e prático)
  • A regra básica para gerar a interseção (como na falsa posição) é
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
  • Avaliamos f\text{(c)}. Se f(a)\,f\text{(c)}<0 então a raiz está em [a,c] e substituímos b\leftarrow c. Se f(b)\,f\text{(c)}<0 então trocamos a\leftarrow c.
  • O problema clássico da falsa posição é que um dos extremos pode “ficar preso” (não muda) e o método converge muito devagar. O pégaso corrige isso multiplicando o valor da função do extremo que NÃO foi substituído por um fator que reduz sua influência, de forma a forçar movimento do extremo preso.
  • Especificamente, adotamos a atualização (forma simétrica):
    • Se f(a)\,f\text{(c)}<0 (isto é, substituímos b\leftarrow c), então, além de b:=c e f(b):=f\text{(c)}, atualizamos o valor associado a a (apenas o valor usado para interpolação) por
    f(a)\leftarrow f(a)\cdot\frac{f\text{(c)}}{f(b_{\text{old}})+f\text{(c)}}.
    • Se f(b)\,f\text{(c)}<0 (isto é, substituímos a\leftarrow c), então, além de a:=c e f(a):=f\text{(c)}, atualizamos
    f(b)\leftarrow f(b)\cdot\frac{f\text{(c)}}{f(a_{\text{old}})+f\text{(c)}}.
  • Observação prática: a atualização acima usa os sinais e valores atuais para calcular um fator adimensional; esse fator reduz (em geral) o valor do f do extremo que ficou, acelerando a retirada do “extremo preso”.
Agora vamos aplicar o método passo a passo com aproximações com pelo menos 4 casas decimais.

Passo 3

Avaliação inicial em a=5 e b=6.
Calculamos f(5):
0,03\cdot5^{3}-2\cdot5+8\operatorname{sen}(5+2)=0,03\cdot125-10+8\operatorname{sen}(7).
Sabendo que \operatorname{sen}(7)\approx0,6569866, obtemos
f(5)\approx3,75-10+8\cdot0,6569866\approx-6,25+5,2558928\approx-0,9941.
Assim \,f(5)\approx-0,9941.
Calculamos f(6):
0,03\cdot6^{3}-2\cdot6+8\operatorname{sen}(8)=0,03\cdot216-12+8\operatorname{sen}(8).
Sabendo que \operatorname{sen}(8)\approx0,9893582, obtemos
f(6)\approx6,48-12+8\cdot0,9893582\approx-5,52+7,9148656\approx2,3949.
Logo f(6)\approx2,3949.
Como f(5)<0 e f(6)>0, há mudança de sinal e podemos aplicar pégaso em [5,6].

Passo 4

Usamos a fórmula da interseção (falsa posição) com a=5,\;b=6,\;f(a)=-0,9941,\;f(b)=2,3949:
c_0=\frac{5\cdot2,3949-6\cdot(-0,9941)}{2,3949-(-0,9941)}\approx5,2936.
Avaliação de f(c_0) (computação detalhada):
  • termo polinomial: 0,03\cdot5,2936^{3}-2\cdot5,2936\approx-6,1371,
  • termo trigonométrico: 8\operatorname{sen}(5,2936+2)=8\operatorname{sen}(7,2936), com \operatorname{sen}(7,2936)\approx0,8470 \approx6,7764.
    Logo
f(c_0)\approx6,7764-6,1371\approx0,6394>0.
Sinal: f(5)<0 e f(c_0)>0 ⇒ raiz em [5,c_0]. Aplicamos a regra de pégaso: substituímos b:=c_0 e atualizamos f(a) (o valor usado para interpolação) por
f(a)\leftarrow f(a)\cdot\frac{f(c_0)}{f(b_{\text{old}})+f(c_0)} =-0,9941\cdot\frac{0,6394}{2,3949+0,6394}\approx-0,2096.
Resumo após k=0:
a=5,\; f(a) \text{ (usado) }=-0,2096;\quad b=5,2936,\; f(b)=0,6394;\quad c_0=5,2936.

Passo 5

Interpolamos com os valores modificados f(a)=-0,2096,\;f(b)=0,6394:
c_1=\frac{5\cdot0,6394-5,2936\cdot(-0,2096)}{0,6394-(-0,2096)}\approx5,0737.
Avaliação f(c_1):
  • cálculo numérico dá f(5,0737)\approx-0,5435 (detalhes: polinomial \approx-6,2291, trig \approx5,6856).
    Sinal: f(c_1)<0. Agora f(c_1) e f(a) têm o mesmo sinal (ambos negativos), logo a raiz está em [c_1,b]. Aplicamos pégaso trocando a:=c_1 e atualizando f(b):
f(b)\leftarrow f(b)\cdot\frac{f(c_1)}{f(a_{\text{old}})+f(c_1)} =0,6394\cdot\frac{-0,5435}{-0,2096+(-0,5435)}\approx0,4615.
Resumo após k=1:
a=5,0737,\; f(a)=-0,5435;\quad b=5,2936,\; f(b)=0,4615;\quad c_1=5,0737.

Passo 6

Com f(a)=-0,5435,\;f(b)=0,4615:
c_2=\frac{5,0737\cdot0,4615-5,2936\cdot(-0,5435)}{0,4615-(-0,5435)}\approx5,1925.
Avaliação f(c_2): cálculo numérico dá f(5,1925)\approx0,1550 (polinomial \approx-6,1850, trig \approx6,3400).
Sinal: f(c_2)>0 e f(a)<0 ⇒ raiz em [a,c_2]. Atualizamos f(a) (pois b foi substituído):
f(a)\leftarrow f(a)\cdot\frac{f(c_2)}{f(b_{\text{old}})+f(c_2)} =-0,5435\cdot\frac{0,1550}{0,4615+0,1550}\approx-0,1366.
Resumo após k=2:
a=5,0737,\; f(a)=-0,1366;\quad b=5,1925,\; f(b)=0,1550;\quad c_2=5,1925.

Passo 7

Com f(a)=-0,1366,\;f(b)=0,1550:
c_3=\frac{5,0737\cdot0,1550-5,1925\cdot(-0,1366)}{0,1550-(-0,1366)}\approx5,1272.
Avaliação f(c_3): f(5,1272)\approx-0,2229.
Sinal: f(c_3)<0 e f(a)<0 ⇒ substituímos a:=c_3 e atualizamos f(b):
f(b)\leftarrow f(b)\cdot\frac{f(c_3)}{f(a_{\text{old}})+f(c_3)} =0,1550\cdot\frac{-0,2229}{-0,1366+(-0,2229)}\approx0,0960.
Resumo após k=3:
a=5,1272,\; f(a)=-0,2229;\quad b=5,1925,\; f(b)=0,0960;\quad c_3=5,1272.

Passo 8

Com f(a)=-0,2229,\;f(b)=0,0960:
c_4=\frac{5,1272\cdot0,0960-5,1925\cdot(-0,2229)}{0,0960-(-0,2229)}\approx5,1730.
Avaliação f(c_4): f(5,1730)\approx0,0589.
Sinal: f(c_4)>0 e f(a)<0 ⇒ substituímos b:=c_4 e atualizamos f(a):
f(a)\leftarrow f(a)\cdot\frac{f(c_4)}{f(b_{\text{old}})+f(c_4)} =-0,2229\cdot\frac{0,0589}{0,0960+0,0589}\approx-0,0847.
Resumo após k=4:
a=5,1272,\; f(a)=-0,0847;\quad b=5,1730,\; f(b)=0,0589;\quad c_4=5,1730.

Passo 9

Com f(a)=-0,0847,\;f(b)=0,0589:
c_5=\frac{5,1272\cdot0,0589-5,1730\cdot(-0,0847)}{0,0589-(-0,0847)}\approx5,1530.
Avaliação f(c_5): f(5,1530)\approx-0,0491.
Sinal: f(c_5)<0 e f(a)<0 ⇒ substituímos a:=c_5 e atualizamos f(b):
f(b)\leftarrow f(b)\cdot\frac{f(c_5)}{f(a_{\text{old}})+f(c_5)} =0,0589\cdot\frac{-0,0491}{-0,0847+(-0,0491)}\approx0,0216.
Resumo após k=5:
a=5,1530,\; f(a)=-0,0491;\quad b=5,1730,\; f(b)=0,0216;\quad c_5=5,1530.

Passo 10

Com f(a)=-0,0491,\;f(b)=0,0216:
c_6=\frac{5,1530\cdot0,0216-5,1730\cdot(-0,0491)}{0,0216-(-0,0491)}\approx5,1659.
Avaliação f(c_6): f(5,1659)\approx-0,0280.
Sinal: f(c_6)<0 e f(a)<0 ⇒ substituímos a:=c_6 e atualizamos f(b):
f(b)\leftarrow f(b)\cdot\frac{f(c_6)}{f(a_{\text{old}})+f(c_6)} =0,0216\cdot\frac{-0,0280}{-0,0491+(-0,0280)}\approx0,0079.
Resumo após k=6:
a=5,1659,\; f(a)=-0,0280;\quad b=5,1730,\; f(b)=0,0079;\quad c_6=5,1659.

Passo 11

Com f(a)=-0,0280,\;f(b)=0,0079:
c_7=\frac{5,1659\cdot0,0079-5,1730\cdot(-0,0280)}{0,0079-(-0,0280)}\approx5,1709.
Avaliação f(c_7): f(5,1709)\approx0,0137.
Condições: diferença |c_7-c_6|\approx|5,1709-5,1659|=0,0050<0,01, mas |f(c_7)|\approx0,0137>0,01. Portanto não satisfeito ainda — precisamos que também |f| fique abaixo de 0,01.
Sinal: f(c_7)>0 e f(a)<0 ⇒ substituímos b:=c_7 e atualizamos f(a):
f(a)\leftarrow f(a)\cdot\frac{f(c_7)}{f(b_{\text{old}})+f(c_7)} =-0,0280\cdot\frac{0,0137}{0,0079+0,0137}\approx-0,0178.
Resumo após k=7:
a=5,1659,\; f(a)=-0,0178;\quad b=5,1709,\; f(b)=0,0137;\quad c_7=5,1709.

Passo 12

Com f(a)=-0,0178,\;f(b)=0,0137:
c_8=\frac{5,1659\cdot0,0137-5,1709\cdot(-0,0178)}{0,0137-(-0,0178)}\approx5,1688.
Avaliação f(c_8): cálculo numérico dá
f(5,1688)\approx-0,0009,
ou seja |f(c_8)|\approx0,0009<0,01.
Agora verifiquemos os critérios:
  • diferença entre últimas aproximações: |c_8-c_7|\approx|5,1688-5,1709|=0,0021<0,01;
  • valor da função: |f(c_8)|\approx0,0009<0,01.
Ambos os critérios foram satisfeitos na iteração com índice k=8. Portanto podemos parar.

Resposta

\xi \approx 5,1688
k=8

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