Questão 4
Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s).
Seja
. Utilizando o método pégaso, determine o valor aproximado da raiz
de
no intervalo
, com erro absoluto abaixo de 0,01 e avaliação do módulo da função também abaixo de 0,01 . OBS: utilize uma aproximação de pelo menos 4 casas decimais.
□
Se
for o valor da primeira iteração realizada.
Qual o valor final de
? □
Se
Qual o valor final de
Passo 1
O enunciado pede: aproximar a raiz
da equação
no intervalo
para a função
usando o método pégaso (variante do método da falsa posição), tal que (1) o erro absoluto entre aproximações sucessivas fique abaixo de
e (2)
na aproximação final. Foi dito que a primeira iteração terá índice
; a pergunta adicional é: qual o valor final de
quando o critério for satisfeito.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
tolerâncias:
e
. Não há outras informações externas.
Passo 2
Breve aula sobre o método pégaso (didático e prático)
- A regra básica para gerar a interseção (como na falsa posição) é
- Avaliamos
. Se então a raiz está em e substituímos . Se então trocamos . - O problema clássico da falsa posição é que um dos extremos pode “ficar preso” (não muda) e o método converge muito devagar. O pégaso corrige isso multiplicando o valor da função do extremo que NÃO foi substituído por um fator que reduz sua influência, de forma a forçar movimento do extremo preso.
- Especificamente, adotamos a atualização (forma simétrica):
- Se
(isto é, substituímos ), então, além de e , atualizamos o valor associado a (apenas o valor usado para interpolação) por
- Se
(isto é, substituímos ), então, além de e , atualizamos
- Se
- Observação prática: a atualização acima usa os sinais e valores atuais para calcular um fator adimensional; esse fator reduz (em geral) o valor do
do extremo que ficou, acelerando a retirada do “extremo preso”.
Agora vamos aplicar o método passo a passo com aproximações com pelo menos 4 casas decimais.
Passo 3
Avaliação inicial em
e
.
Calculamos
:
Sabendo que
, obtemos
Assim
Calculamos
:
Sabendo que
, obtemos
Logo
Como
e
, há mudança de sinal e podemos aplicar pégaso em
.
Passo 4
Usamos a fórmula da interseção (falsa posição) com
:
Avaliação de
(computação detalhada):
- termo polinomial:
, - termo trigonométrico:
, com dá .
Logo
Sinal:
e
⇒ raiz em
. Aplicamos a regra de pégaso: substituímos
e atualizamos
(o valor usado para interpolação) por
Resumo após
:
Passo 5
Interpolamos com os valores modificados
:
Avaliação
:
- cálculo numérico dá
(detalhes: polinomial , trig ).
Sinal:. Agora e têm o mesmo sinal (ambos negativos), logo a raiz está em . Aplicamos pégaso trocando e atualizando :
Resumo após
:
Passo 6
Com
:
Avaliação
: cálculo numérico dá
(polinomial
, trig
).
Sinal: e
⇒ raiz em
. Atualizamos
(pois
foi substituído):
Sinal:
Resumo após
:
Passo 7
Com
:
Avaliação
:
.
Sinal: e
⇒ substituímos
e atualizamos
:
Sinal:
Resumo após
:
Passo 8
Com
:
Avaliação
:
.
Sinal: e
⇒ substituímos
e atualizamos
:
Sinal:
Resumo após
:
Passo 9
Com
:
Avaliação
:
.
Sinal: e
⇒ substituímos
e atualizamos
:
Sinal:
Resumo após
:
Passo 10
Com
:
Avaliação
:
.
Sinal: e
⇒ substituímos
e atualizamos
:
Sinal:
Resumo após
:
Passo 11
Com
:
Avaliação
:
.
Condições: diferença , mas
. Portanto não satisfeito ainda — precisamos que também
fique abaixo de
.
Sinal: e
⇒ substituímos
e atualizamos
:
Condições: diferença
Sinal:
Resumo após
:
Passo 12
Com
:
Avaliação
: cálculo numérico dá
ou seja
.
Agora verifiquemos os critérios:
- diferença entre últimas aproximações:
; - valor da função:
.
Ambos os critérios foram satisfeitos na iteração com índice
. Portanto podemos parar.