Seja S=[0,2 pi] times[-pi2, pi2] e seja f: S R^3 a função
f(u, v)=(cos u cos v, sen u cos v, 1+sen v)
Calcular o vetor partial fpartial u times partial fpartial v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente tem uma função f que mapeia um retângulo S = [0,2pi] times [-pi2, pi2] para o espaço tridimensional R^3. A função é dada por:
f(u, v) = (cos u cos v, sin u cos v, 1 + sin v)
O que a gente precisa fazer é calcular o vetor partial fpartial u times partial fpartial v, ou seja, o produto vetorial das derivadas parciais de f em relação a u e v.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a u, que é partial fpartial u. Isso significa que a gente deriva cada componente da função f em relação a u, mantendo v constante.
Então temos:
partial fpartial u = ( partialpartial u (cos u cos v), partialpartial u (sin u cos v), partialpartial u (1 + sin v) )
Derivando termo a termo:
partial fpartial u = (-sin u cos v, cos u cos v, 0)

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a v, que é partial fpartial v. Novamente, derivamos cada componente de f em relação a v, mantendo u constante.
Então temos:
partial fpartial v = ( partialpartial v (cos u cos v), partialpartial v (sin u cos v), partialpartial v (1 + sin v) )
Derivando termo a termo:
partial fpartial v = (-cos u sin v, -sin u sin v, cos v)

Passo 4

Agora que temos as duas derivadas parciais, vamos calcular o produto vetorial entre elas, partial fpartial u times partial fpartial v. O produto vetorial entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a times b = ( a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1 )
Aplicando isso às nossas derivadas parciais:
partial fpartial u times partial fpartial v = ( (cos u cos v)(cos v) - (0)(-sin u sin v), (0)(-cos u sin v) - (-sin u cos v)(cos v), (-sin u cos v)(-sin u sin v) - (cos u cos v)(-cos u sin v) )
Simplificando cada componente:
Primeira componente:
cos u cos v cdot cos v = cos u cos^2v
Segunda componente:
0 - (-sin u cos v cdot cos v) = sin u cos^2v
Terceira componente:
sin^2u cos v sin v - (-cos^2u cos v sin v) = sin v cos v (sin^2u + cos^2u)
Como sin^2u + cos^2u = 1, fica:
sin v cos v

Resposta

O vetor partial fpartial u times partial fpartial v é dado por:
( cos u cos^2v, sin u cos^2v, sin v cos v )

Exercícios relacionados