Seja
e seja
a função
Calcular o vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente tem uma função
que mapeia um retângulo
para o espaço tridimensional
. A função é dada por:
O que a gente precisa fazer é calcular o vetor
, ou seja, o produto vetorial das derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Isso significa que a gente deriva cada componente da função
em relação a
, mantendo
constante.
Então temos:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Novamente, derivamos cada componente de
em relação a
, mantendo
constante.
Então temos:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Agora que temos as duas derivadas parciais, vamos calcular o produto vetorial entre elas,
. O produto vetorial entre dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso às nossas derivadas parciais:
Simplificando cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Como
, fica:
Resposta
O vetor
é dado por: