Encontre os autovalores e autovetores dos operadores abaixo:
T(x, y)=(3 x, 3 y) R: lambda=3, v=(x, y)

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear T:R^2toR^2 definido por
T(x,y)=(3x,3y)
Precisamos encontrar todos os autovalores lambda e autovetores vneq(0,0) tais que
T(v)=lambda v

Passo 2

Aplicando a definição de autovalor e autovetor, escrevemos
T(x,y)=lambda(x,y)
ou seja
(3x,3y)=(lambda x,lambda y),
o que gera o sistema
(3-lambda)x=0,(3-lambda)y=0

Passo 3

Para existir solução não trivial (x,y)neq(0,0), o sistema exige
3-lambda=0 Longrightarrow lambda=3
Logo, o único autovalor é lambda=3.

Passo 4

Substituindo lambda=3 no sistema, obtemos
(3-3)x=0,(3-3)y=0 Longrightarrow 0=0,;0=0,
o que significa que qualquer vetor (x,y) é solução. Assim, o espaço próprio associado a lambda=3 é todo R^2.

Resposta

O único autovalor é lambda=3 e todo vetor não nulo (x,y)inR^2 é autovetor correspondente.

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