Considere um tanque contendo 1000 ell de água. Uma solução de salmoura entra no tanque a uma taxa constante de 6 ell / min. A solução dentro do tanque é mantida agitada e é retirada a uma taxa de 6 ell / min. Se a concentração de sal na salmoura entrando no tanque é de 0,1 kg / ell, determine quando a concentração de sal no tanque alcançará 0,05 kg / ell.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um tanque com 1000 litros de água. Uma salmoura está entrando no tanque a uma taxa constante de 6 litros por minuto, com concentração de sal de 0,1 kg/L. Ao mesmo tempo, a solução está sendo retirada do tanque na mesma taxa de 6 litros por minuto. Nosso objetivo é descobrir em quanto tempo a concentração de sal no tanque vai chegar a 0,05 kg/L.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais, que nos ajudam a modelar como a quantidade de sal no tanque muda ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que queremos encontrar. Seja $ Q(t) $ a quantidade de sal no tanque no tempo $ t $. Queremos encontrar o $ t $ tal que a concentração de sal, que é $ \frac{Q(t)}{1000} $, seja igual a 0,05 kg/L.
Então, a equação que queremos resolver é:
Q(t)

Passo 3

Agora, vamos montar a equação que descreve como $ Q(t) $ muda com o tempo. A taxa de variação de $ Q(t) $ é igual à taxa de entrada de sal menos a taxa de saída de sal.
A taxa de entrada de sal é:
Q(t) çã
A taxa de saída de sal depende da concentração no tanque, que é $ \frac{Q(t)}{1000} $, multiplicada pela taxa de saída:
Q(t) í

Passo 4

Com isso, podemos escrever a equação diferencial:
dQdt = Entrada - Saída = 0,6 - 0,006Q(t) í
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver para encontrar $ Q(t) $.

Passo 5

Vamos resolver a equação diferencial:
dQdt = 0,6 - 0,006Q
Primeiro, rearranjamos para:
dQdt + 0,006Q = 0,6
Encontramos o fator integrante $ \mu(t) $:
mu(t)
Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante:
mu(t) = e^integral 0,006 , dt = e^0,006t
Isso simplifica para:
e^0,006t dQdt + 0,006 e^0,006t Q = 0,6 e^0,006t

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral ddt ( e^0,006t Q ) dt = integral 0,6 e^0,006t dt
O lado esquerdo simplifica para $ e^{0,006t} Q $. O lado direito é:
e^0,006t Q
Então, temos:
0,6 times 10,006 e^0,006t + C = 100 e^0,006t + C
Dividindo ambos os lados por $ e^{0,006t} $:
e^0,006t Q = 100 e^0,006t + C

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial. No tempo $ t = 0 $, o tanque está com 1000 litros de água pura, ou seja, sem sal. Então, $ Q(0) = 0 $.
Substituindo na solução:
t = 0
Q(0) = 0
0 = 100 + C e^0
Então, a solução fica:
0 = 100 + C

Passo 8

Queremos a concentração de sal $ \frac{Q(t)}{1000} = 0,05 $ kg/L. Então:
Q(t)1000 = 0,05
100 - 100 e^-0,006t1000 = 0,05
100 - 100 e^-0,006t1000 = 5100
100 - 100 e^-0,006t = 50
-100 e^-0,006t = -50

Passo 9

Para resolver $ e^{-0,006t} = 0,5 $, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
e^-0,006t = 0,5
-0,006t = ln(0,5)
Calculando o valor:
t = -ln(0,5)0,006
ln(0,5) approx -0,6931

Resposta

A concentração de sal no tanque alcançará 0,05 kg/L após aproximadamente 115,52 minutos.

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