Considere um tanque contendo
de água. Uma solução de salmoura entra no tanque a uma taxa constante de
. A solução dentro do tanque é mantida agitada e é retirada a uma taxa de
. Se a concentração de sal na salmoura entrando no tanque é de
, determine quando a concentração de sal no tanque alcançará
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um tanque com 1000 litros de água. Uma salmoura está entrando no tanque a uma taxa constante de 6 litros por minuto, com concentração de sal de 0,1 kg/L. Ao mesmo tempo, a solução está sendo retirada do tanque na mesma taxa de 6 litros por minuto. Nosso objetivo é descobrir em quanto tempo a concentração de sal no tanque vai chegar a 0,05 kg/L.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais, que nos ajudam a modelar como a quantidade de sal no tanque muda ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que queremos encontrar. Seja $ Q(t) $ a quantidade de sal no tanque no tempo $ t $. Queremos encontrar o $ t $ tal que a concentração de sal, que é $ \frac{Q(t)}{1000} $, seja igual a 0,05 kg/L.
Então, a equação que queremos resolver é:
Passo 3
Agora, vamos montar a equação que descreve como $ Q(t) $ muda com o tempo. A taxa de variação de $ Q(t) $ é igual à taxa de entrada de sal menos a taxa de saída de sal.
A taxa de entrada de sal é:
A taxa de saída de sal depende da concentração no tanque, que é $ \frac{Q(t)}{1000} $, multiplicada pela taxa de saída:
Passo 4
Com isso, podemos escrever a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver para encontrar $ Q(t) $.
Passo 5
Vamos resolver a equação diferencial:
Primeiro, rearranjamos para:
Encontramos o fator integrante $ \mu(t) $:
Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para $ e^{0,006t} Q $. O lado direito é:
Então, temos:
Dividindo ambos os lados por $ e^{0,006t} $:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial. No tempo $ t = 0 $, o tanque está com 1000 litros de água pura, ou seja, sem sal. Então, $ Q(0) = 0 $.
Substituindo na solução:
Então, a solução fica:
Passo 8
Queremos a concentração de sal $ \frac{Q(t)}{1000} = 0,05 $ kg/L. Então:
Passo 9
Para resolver $ e^{-0,006t} = 0,5 $, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Calculando o valor:
Resposta
A concentração de sal no tanque alcançará 0,05 kg/L após aproximadamente 115,52 minutos.