Quando as taxas de juros são compostas continuamente, o valor em dinheiro cresce a uma taxa proporcional à quantia S presente no instante t. Determine a quantia acumulada ao fim de 5 anos quando R 5000,00 for depositado em uma poupança com rendimento de ç\frac{23}{4} %$ de juros anuais compostos continuamente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um depósito inicial de R$5000,00 aplicado em uma poupança que rende juros continuamente a uma taxa de 5000,00 aplicado em uma poupança que rende juros continuamente a uma taxa de ao ano. Nosso objetivo é descobrir quanto teremos acumulado após 5 anos.

Passo 2

Para resolver esse problema, vamos usar a fórmula dos juros compostos contínuos. Quando os juros são compostos continuamente, a fórmula para calcular o montante acumulado S após um tempo t é:
S = S0 cdot e^rt
Onde:
  • S0 é o valor inicial depositado.
  • r é a taxa de juros anual em decimal.
  • t é o tempo em anos.
  • e é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.

Passo 3

Primeiro, precisamos converter a taxa de juros de porcentagem para decimal. A taxa dada é 234%, que em decimal fica:
r = 234 div 100 = 0,0575

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na fórmula dos juros compostos contínuos:
  • S0 = 5000
  • r = 0,0575
  • t = 5
Então,
S = 5000 cdot e^0,0575 times 5

Passo 5

Calculando o expoente:
0,0575 times 5 = 0,2875
Então,
S = 5000 cdot e^0,2875

Passo 6

Agora, vamos calcular e^0,2875. Usando uma calculadora ou uma tabela de valores exponenciais, encontramos que:
e^0,2875 approx 1,3330

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelo valor inicial:
S = 5000 times 1,3330 = 6665

Resposta

Após 5 anos, a quantia acumulada será de aproximadamente R$ 6.665,00.

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